闭凸多面体多项式互补问题的误差界

一、闭凸多面体上多项式互补问题的误差界（论文文献综述）

李湾^[1]（2021）在《多项式互补问题与张量变分不等式的解集分析》文中提出张量是向量和矩阵的高阶推广,张量变分不等式和张量互补问题在随机过程、数据处理、马尔科夫链等方面有广泛的应用。它与多项式优化、不动点问题、广义方程及对策论等也有密切联系。张量互补问题是张量变分不等式的特例,而张量变分不等式是一类重要的非线性问题。多项式变分不等式问题是多项式互补问题和张量变分不等式的自然延伸,对多项式变分不等式和互补问题的研究有助于一类经典非线性优化——多项式优化问题的理论分析与求解。本文主要是用张量结构与多项式优化技术相结合的方法针对一类多项式变分不等式和互补问题解集性质进行理论的分析。全文分为六章:第一章,绪论。分别介绍了变分不等式问题、多项式变分不等式问题、广义张量变分不等式、多项式互补问题的研究背景和现状。第二章,预备知识。首先给出与本文相关的基本符号,其次回顾了例外族、结构张量等与多项式变分不等式和互补问题相关的概念,为后续章节做了必要的准备。第三章,主要针对一类多项式变分不等式问题的解集性质进行讨论。本章分为四节,第一节介绍相关定义以及命题。第二节研究了结构张量多项式变分不等式问题解的存在性,证明当首项系数张量为正定时,其解集是非空紧的。第三节已知在多项式函数是高阶强伪单调的条件下,其解是唯一的;在此基础上,给出了多项式变分不等式解的界。第四节本章总结。第四章,主要研究了广义张量变分不等式问题。本章分为三节,第一节具体描述了一个张量空间Tm,n中非空闭凸集K上的广义张量变分不等式问题模型。然后,回顾了该问题已有的解集性质和相关定理。第二节给出了 m阶K-强伪单调和m阶K-强伪单调函数的新定义,并得到了当F（x）是m阶K-强伪单调时GTVI（F,K）存在唯一解结论。在此基础上,讨论了广义张量变分不等式问题的误差界。第三节本章总结。第五章,主要研究了多项式互补问题。本章分为本章分为三节,第一节回顾了多项式互补问题的相关已有的解集性质和定义。第二节在利用Frobenius范数给出了解的界。第三节本章总结。第六章,总结与展望。总结全文主要内容和贡献以及不足的方面,最后展望未来进一步研究有关多项式变分和互补问题的方向。

金珂^[2]（2021）在《张量互补问题解集的若干理论分析》文中研究表明张量理论分析与计算是数值代数的重要分支,它也与多重线性代数密切相关,其在信号处理、量子力学和医学成像等方面有着重要的应用。本文主要针对协正张量互补问题、张量多项式互补问题等进行理论分析。第一章,分别介绍了互补问题、协正矩阵互补问题、多项式互补问题的研究背景和研究现状。第二章,首先给出了一些与本文相关的基本符号,然后回顾了（严格）协正张量、（严格）正定张量、（严格）半正张量、（严格）正定张量等相关的概念,为后续研究做了必要的准备。第三章,主要研究了协正张量互补问题。首先给出了协正张量互补问题的相关概念以及基本形式,这为后续讨论协正张量互补问题的例外族和可解性提供了重要的理论依据。其次,借助拓扑度理论和例外族概念得到协正张量互补问题或有解或有例外族,两者必居其一;最后,进一步证明了在Isac-Carbone’s条件、Karamardian’s条件、强制性条件、伪单调条件和弱真等条件下,协正张量互补问题必有解。第四章,主要研究了张量多项式互补问题。本章分为二节,第一节介绍了张量多项式互补问题的相关概念,张量多项式互补问题的具体形式。第二节研究了张量多项式互补问题的误差界估计。第五章,对本文做出了总结,并指出了本文中的不足,进一步明确了今后的研究方向。

陈娟^[3]（2020）在《广义向量平衡问题的解连续性和间隙函数及误差界》文中认为向量平衡问题是向量优化与非线性分析研究领域中的一个重要问题,它也称为广义Ky Fan不等式,包含了向量变分不等式、向量互补问题和向量优化问题等模型。稳定性分析是数学优化中的重要研究内容,包含解的半连续性、Lipschitz连续性和H（?）lder连续性、误差界等。标量化方法是解决向量平衡问题的一类实用的处理手段,将其运用于基于改进集的统一弱向量平衡问题下的解连续性、间隙函数和误差界,则是本文研究的重点。首先,本文讨论了基于改进集的统一向量平衡问题解的线性标量刻画。然后借助标量化方法和广义凸性与单调性等主要假设,分别研究了参数扰动统一向量平衡问题的解连续性、统一向量平衡问题的（正则）间隙函数和误差界,以及极大极小策略方法下的间隙函数。所得结果推广或改进了有关文献中的对应结论。其次,利用上述思想,将以上结论推广至集值映射情形作进一步讨论。同样地,借助线性标量化方法分别得到了参数扰动统一集值向量平衡问题的解连续性、统一集值向量平衡问题的（正则）间隙函数和误差界,以及极大极小策略方法下的间隙函数。特别地,文中建立了（正则）间隙函数和误差界的一般性新结论。

孙国^[4]（2019）在《随机二阶锥互补问题的确定性模型及其应用研究》文中研究说明互补问题是最优化理论中一个重要的研究课题,在供应链管理、工程力学和博弈论等研究领域中有着广泛的应用。二阶锥互补问题是对互补问题的推广,基于欧氏若当代数理论,二阶锥互补问题的研究已取得了丰硕的理论成果,并在力学、经济、交通和通信等方面有着广泛的应用。然而,在实际问题中常常存在着各种不确定因素,漠视这些随机因素将会导致决策失误。根据理论和实际应用方面的需要,在二阶锥互补问题中引入随机变量,形成了随机二阶锥互补问题。目前,对随机二阶锥互补问题的研究正处于起步阶段,许多问题亟待需要进行系统深入的研究。另一方面,电力系统最优潮流是最优化理论在电力系统中的应用,它可将安全运行和最优经济运行等问题进行综合考虑,通过建立和求解数学模型,为电力系统调度运行提供有效解决方案。随着电力系统的市场化改革和可再生能源发电的持续接入,节点注入功率的随机性日益明显,使得随机最优潮流问题备受关注。在一定的约束规范条件下,随机最优潮流问题可以等价转化成随机二阶锥互补问题,进而可借助随机二阶锥互补理论,对其开发有效算法。这是对电力系统随机最优潮流问题研究的新探索。本文主要研究随机二阶锥互补问题,提出了新的锥互补函数和价值函数,建立了随机二阶锥互补问题的期望残差极小化模型和期望值模型及其求解方法,并将模型运用在求解风电接入下的随机最优潮流问题上,从而为风电接入下电力系统的安全运行和经济调度提供了理论支撑。本文的研究工作主要包括如下四部分:首先,基于锥“互补”关系的特点,提出了逐项残差互补函数及相应的新价值函数。利用若当代数的性质,证明了它们是连续可微且强半光滑的,并给出了强制性的条件及误差界分析,进而得到了新价值函数的稳定点就是锥互补问题的解的一个充分条件,与传统的价值函数相比,新价值函数具有较快的收敛速度,特别是在算法迭代初期,函数值快速下降优势尤为显着。其次,利用逐项残差互补函数建立了随机二阶锥互补问题的期望残差极小化模型,证明了在随机弱0R的条件下期望残差极小化问题的水平集是有界的,并分别在强单调和NNAMCQ约束规范条件下给出了全局误差界和局部误差界分析。进一步,利用蒙特卡罗近似技术给出了期望残差极小化模型的近似问题,证明了近似问题的全局最优解序列和稳定点序列会依概率1收敛到期望残差极小化问题的全局最优解和稳定点,指出了期望残差极小化模型的最优解可以作为随机二阶锥互补问题的鲁棒解,并且收敛速度达到指数收敛。再次,利用自然残差互补函数和Fischer-Burmeister互补函数,建立了随机二阶锥互补问题的期望值模型,给出了它的误差界分析,并借助光滑化技术和蒙特卡罗近似方法得到了期望值模型的近似问题,证明了近似问题的全局最优解序列和稳定点序列会依概率1收敛到期望值模型的全局最优解和稳定点,并且收敛速度也可以达到指数收敛。最后,研究了期望残差极小化模型和期望值模型在风电接入下的电力系统随机最优潮流问题上的应用。考虑到风力发电不确定性对电力系统的影响,以发电成本最小为目标,分别对具有径向结构的配电系统和高压输电系统建立了不含机会约束和含机会约束两类风电接入下的随机最优潮流模型,并分别应用期望残差极小化模型、期望值模型及其算法进行了有效求解,同时对SCE-47节点和IEEE-30节点的算例进行了仿真测试,得到了稳定收敛的数值结果,测试结果表明随机最优潮流的期望残差值能保持在较小的可接受范围内,说明了调度结果更能经受风电出力不确定性的扰动,从而能为风电接入下的电力系统安全、经济地运行提供了有力的理论支撑。

赵花丽^[5]（2018）在《对称锥非线性互补问题的内点算法研究》文中研究指明对称锥互补问题是一类十分广泛的问题,它包括标准互补问题,二阶锥互补问题以及半定互补问题.在经济、管理、交通、工程设计、通信、控制等实际部门有着十分广泛的应用.最近几十年,对称锥互补问题已经成为非常活跃的研究领域,吸引了一大批科学工作者从事这方面的研究,并在理论、算法以及应用等方面取得了丰硕的研究成果.内点算法是求解对称锥互补问题的最有效的方法之一,但是关于对称锥互补问题的内点算法的研究基本都是针对对称锥线性互补问题的,关于对称锥非线性互补问题内点算法的相关研究很少.本文针对单调对称锥非线性互补问题和笛卡尔P*（κ）对称锥非线性互补问题,分别研究了齐次算法、路径跟踪内点算法以及Mehrotra型预估校正内点算法,分析了算法的复杂度.首先在Yoshise提出的齐次模型的基础上,研究求解单调对称锥非线性互补问题的齐次算法.由于估计齐次算法的理论复杂度时,需要非线性变换满足SLC条件,而Yoshise提出的SLC条件依赖于尺度参数p且不具有尺度不变性.鉴于此,将Andersen等提出的SCL条件由R+n推广到对称锥K,提出了一个新的SLC条件,该条件的特点是不依赖于尺度参数p的选择.同时也证明了该条件具有尺度不变性.基于这个SLC条件,分别获得了小步、半长步以及长步算法的理论复杂度.特别地,基于sx方向时,小步、半长步以及长步算法的复杂度和Yoshise提出的齐次算法的复杂度相同.其次研究了笛卡尔P*（κ）对称锥非线性互补问题的路径跟踪内点算法.该算法是基于F范数宽领域的不可行内点算法.为了估计算法的理论复杂度,提出一个SLC条件,基于该SLC条件,估计了算法的理论复杂度.并且利用线性互补问题、半定互补问题以及非线性互补问题的算例来验证算法的实际计算效果.数据结果表明,该算法是有效的并且也是稳定的.最后研究了两个求解笛卡尔P*（κ）对称锥线性互补问题的Mehrotra型预估校正算法.这两个算法都是基于宽邻域N∞-（1-γ）的预估校正算法.第一个算法将现有的求解线性规划问题的可行预估校正算法推广到对称锥非线性互补问题,与原算法不同的是,推广后的算法为不可行算法,同时采用与以往有所不同的中心参数的调整策略,提出了笛卡尔P*（κ）对称锥非线性互补问题的不可行预估校正内点算法.并且估计了算法的理论复杂度.利用线性互补问题、半定互补问题以及非线性互补问题的算例验证了算法的实际计算效果.第二个算法将现有的笛卡尔P*（κ）对称锥线性互补问题的自适应预估校正算法推广到对称锥非线性问题,提出了笛卡尔P*（κ）对称锥非线性互补问题的一个不可行自适应预估校正内点算法并且证明了算法的理论复杂度.该算法的中心参数的调整策略与第一个算法不同,它可以使得算法在每次迭代中都能获得较大的步长,数据结果表明,算法是有效的也是稳定的。

刘强^[6]（2018）在《分布鲁棒优化的模型与稳定性研究》文中指出实际问题中优化模型往往既含有决策变量又含有参数,问题的解依赖于参数的估计.由于参数向量的信息不充分或刻画参数向量的数据不完整,以及参数向量的随机性,精确确定或估计这些参数通常是非常困难的.为了解决这一问题,学者们提出并发展了鲁棒优化（robust optimization）方法.分布鲁棒优化问题的研究具有重要的理论和实际意义.本论文所阐述的主要研究结果可概括如下:1.第三章研究了基于一阶矩和二阶矩信息的不确定分布集合的分布鲁棒优化问题.首先给出一般支撑集合时的鲁棒优化问题的确定性等价表示.之后得到了当支撑集是全空间以及凸多面体集时的鲁棒优化问题的可处理的等价优化模型.采用两种方法求解这两个模型,一种是把它们转化为二阶锥优化问题,然后用Gurobi算法求解,另一种是光滑牛顿法.尤其研究了支撑集合为全空间情况下,刻画分布集合的一阶矩和二阶矩参数发生变化时,分布鲁棒优化问题的稳定性.2.第四章研究了因素模型的投资组合分布鲁棒模型.基于因素模型以及分布鲁棒投资问题,研究了分布鲁棒均值-方差投资组合优化问题,分布鲁棒夏普率模型以及分布鲁棒VaR和CVaR模型.利用凸优化的拉格朗日对偶理论,得到了与上述分布鲁棒投资组合优化模型等价的半定规划问题.3.第五章利用Brouwer’s不动点定理研究了一类随机广义方程的解的稳定性.用概率测度间的伪度量估计对应不同概率测度的随机广义方程的解集间的Hausdorff距离.将得到的稳定性结论应用到一类随机锥规划问题稳定性研究中.

凌莉芸^[7]（2018）在《结构张量特征值互补问题的理论分析》文中研究表明张量是多重线性代数中的重要研究课题,它与多项式优化密切相关,并在量子力学、医学成像和信号处理等方面有着广泛的应用。本文主要针对严格半正张量特征值互补问题、结构张量多项式互补问题、广义结构张量互补问题等张量（特征值）互补问题进行理论分析。全文分为六章:第一章,绪论。分别介绍了互补问题、张量特征值互补问题、多项式互补问题和广义多项式互补问题的研究背景和研究现状。第二章,预备知识。首先给出一些与本文相关的基本符号,然后回顾了结构张量、例外簇、残差函数、算子范数等与结构张量（特征值）互补问题相关的概念,为后续章节做了必要的准备。第三章,主要研究了严格半正张量特征值互补问题的Pareto-谱估计。首先讨论了严格半正张量特征值互补问题的Pareto-特征值的符号特征,然后利用严格半正张量的常量及算子范数的性质,得到了严格半正张量特征值互补问题的Pareto-谱的估计性质。第四章,主要研究了结构张量多项式互补问题。本章分为三节,第一节研究了结构张量多项式互补问题解的存在性,证明当首项张量为ER-张量时,结构张量多项式互补问题的解集是非空紧集。第二节在解存在的基础上,讨论了结构张量多项式互补问题解的下界。第三节讨论了当F为m一致P-函数时,结构张量多项式互补问题的误差界。第五章,主要研究了广义结构张量多项式互补问题。本章分为三节,第一节研究了闭凸锥上广义结构张量多项式互补问题解的存在性,证明当首项张量对是锥ER-张量对时,广义结构张量多项式互补问题的解集是非空紧集。第二节讨论了当首项张量对是锥R0-张量对时,广义结构张量多项式互补问题的闭性、局部有界性、紧性、上半连续性等基本的拓扑性质。第三节提出适当的假设和条件,证明广义结构张量多项式互补问题的自然残差函数是Lipschitz型全局误差界。第六章,总结与展望。对全文内容进行总结,并明确今后进一步研究的方向。

戴彧虹,刘新为^[8]（2014）在《线性与非线性规划算法与理论》文中研究指明线性规划与非线性规划是数学规划中经典而重要的研究方向.主要介绍该研究方向的背景知识,并介绍线性规划、无约束优化和约束优化的最新算法与理论以及一些前沿与热点问题.交替方向乘子法是一类求解带结构的约束优化问题的方法,近年来倍受重视.全局优化是一个对于应用优化领域非常重要的研究方向.因此也试图介绍这两个方面的一些最新研究进展和问题.

刘长河^[9]（2012）在《锥规划中若干内点算法的复杂性研究》文中研究指明在内点法中,理论和实践之间存在着一个矛盾：实际计算效果好的算法在理论上却具有较差的迭代复杂性。本论文旨在研究几类锥规划问题（包括线性规划、半定规划和对称锥规划）中有效的内点算法,讨论它们的迭代复杂性和数值效果。首先给出了线性规划的两个Mehrotra型预估-矫正算法。它们都是基于宽邻域的原-对偶内点算法,并且宽邻域的定义和常用的-∞邻域有着密切关系。在每次迭代中,该算法比传统的迭代方向增加一个矫正方向。通过证明一些重要引理,给出了算法的O（（?）L）迭代复杂性,其中n是问题维数,L是输入数据的长度。这是第一次得到具有O（（?）L）复杂性的Mehrotra型预估-矫正算法,这也是目前内点法中最好的复杂性结果。基于线性规划问题的标准测试问题集NETLIB的数值结果显示了该算法具有很好的实际计算效果。随后,把第一个算法推广到了半定规划问题。基于NT方向,证明了算法的复杂性与线性规划的情况是相同的。并且,基于实际问题的数值结果验证了算法的实际有效性.接着深入研究了线性规划问题的带保障的Mehrotra型预估-矫正算法。该算法把Mehrotra算法和一个保障策略结合起来,以保证迭代既不超出给定的邻域又能获得较大的迭代步长。指出了Koulaei和Terlaky在推广带保障的Mehrotra型预估-矫正算法到半定规划时存在的一个严重证明错误。通过修改预估步中的最大步长的计算方法,给出了半定规划的一个新的Mehrotra型预估-矫正算法。但对于线性规划的情况,由新方法计算的预估步长与Koulaei和Terlaky的方法是完全相同的。基于NT方向,证明该算法的复杂性为O（nL）。然后,利用欧氏Jordan代数作为工具,把该算法进一步推广到对称锥（包含了非负卦限,半正定矩阵锥和二阶锥）,并证明了算法的O（r logeε-1）迭代复杂性,其中r是Jordan代数的秩,ε是精度参数。同时提出了一个新的自适应更新中心策略,基于该策略的Mehrotra型预估-矫正算法和带保障的Mehrotra算法具有相同的复杂性。数值结果证实了新算法的有效性。利用类似的技巧,把Salahi和Mahdavi-Amiri提出的二阶Mehrotra型预估-矫正算法由线性规划推广到了对称锥规划。但是,推广的算法在迭代步长的选取方式和保障的使用范围都不同于Salahi（?）口Mahdavi-Amiri的算法。基于NT方向,证明了算法的复杂性与线性规划的情况是相同的。然后,又给出了该算法的一个不可行算法,基于NT方向,不可行算法具有O（r2logε-1）迭代复杂性；若初始点是可行点,则算法的复杂性降低到O（rlogε-1）。最后,基于艾文宝和张树中的原-对偶路径跟踪算法,提出了对称锥规划的一个新的原-对偶不可行内点算法。基于“可交换类”方向,证明了该算法的多项式收敛性。特别的,对于NT方向,复杂性为O（r1.5logε-1）；对于xs和sx方向,复杂性为O（r2logε-1）。如果算法的初始点是可行点,则对于NT方向,复杂性为O（（?）logε-1）；对于xs和sx方向,复杂性为O（rlogε-1）。当取NT方向时,我们首次得到了对称锥上具有和窄邻域相同复杂性的宽邻域内点算法。

史彩萍^[10]（2011）在《一类约束最小二乘问题的算法》文中研究指明最小二乘问题在物理、统计、控制论和经济等研究领域中有着广泛的应用,是最优化问题理论和算法的重要组成部分.然而在许多实际问题中,目标函数中的变量的各分量之间可能不完全独立,它们的数值常受到某些物理或数学条件的约束,经常会遇到约束最小二乘问题.因此,研究这类问题的计算方法是非常有意义的.本文研究了凸多面体上的最小二乘问题的数值解法.首先利用Kuhn-Tucker条件将具有非负约束变量的凸多面体上的最小二乘问题转化成为线性互补问题.在此基础上,设计了求解此类约束最小二乘问题的辅助算法,证明了算法的收敛性,并说明了子问题的解法.其次,针对一般凸多面体上的最小二乘问题,本文推导了它的对偶问题,证明了相应的弱对偶定理和强对偶定理,利用对偶问题同样将其转化为了线性互补问题.据此,本文设计了两种求解一般凸多面体上的最小二乘问题的投影算法,证明了算法的收敛性和收敛速率.最后,数值实验表明本文所提出的算法是可行的.

二、闭凸多面体上多项式互补问题的误差界（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、闭凸多面体上多项式互补问题的误差界（论文提纲范文）

（1）多项式互补问题与张量变分不等式的解集分析（论文提纲范文）

（2）张量互补问题解集的若干理论分析（论文提纲范文）

（3）广义向量平衡问题的解连续性和间隙函数及误差界（论文提纲范文）

（4）随机二阶锥互补问题的确定性模型及其应用研究（论文提纲范文）

（5）对称锥非线性互补问题的内点算法研究（论文提纲范文）

（6）分布鲁棒优化的模型与稳定性研究（论文提纲范文）

（7）结构张量特征值互补问题的理论分析（论文提纲范文）

（9）锥规划中若干内点算法的复杂性研究（论文提纲范文）

（10）一类约束最小二乘问题的算法（论文提纲范文）

四、闭凸多面体上多项式互补问题的误差界（论文参考文献）

• [1]多项式互补问题与张量变分不等式的解集分析[D]. 李湾. 杭州电子科技大学, 2021
• [2]张量互补问题解集的若干理论分析[D]. 金珂. 杭州电子科技大学, 2021
• [3]广义向量平衡问题的解连续性和间隙函数及误差界[D]. 陈娟. 重庆大学, 2020
• [4]随机二阶锥互补问题的确定性模型及其应用研究[D]. 孙国. 上海大学, 2019(02)
• [5]对称锥非线性互补问题的内点算法研究[D]. 赵花丽. 西安电子科技大学, 2018(07)
• [6]分布鲁棒优化的模型与稳定性研究[D]. 刘强. 大连理工大学, 2018(02)
• [7]结构张量特征值互补问题的理论分析[D]. 凌莉芸. 杭州电子科技大学, 2018(01)
• [8]线性与非线性规划算法与理论[J]. 戴彧虹,刘新为. 运筹学学报, 2014(01)
• [9]锥规划中若干内点算法的复杂性研究[D]. 刘长河. 西安电子科技大学, 2012(05)
• [10]一类约束最小二乘问题的算法[D]. 史彩萍. 南京航空航天大学, 2011(12)

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