一、间断常系数抛物方程组特征修正区域分解有限元法（论文文献综述）
孟祥羽[1]（2021）在《复杂海洋声学环境下的反射地震响应及相关处理方法研究》文中指出伴随着海上石油勘探靶区从浅水区向深水区的扩展以及海上时移地震的普及,由复杂海洋声学环境产生的影响逐渐得到重视。野外观测数据和理论研究表明,随机起伏的海面使地震波发生了多次复杂的散射;而深海声道速度分布又改变着波场的传播方向与走时。此时,如果仍按照经典地震勘探理论,将其近似为表面绝对水平的均匀各向同性介质,会在后续的偏移成像等数据处理流程中引入海洋声学环境的近似误差和影响。关于这种影响,在水声学和地震海洋学等领域,虽然已经进行了一定程度的研究。但在勘探地震领域,这种影响的相关处理问题仍没有得到有效解决。还存在以下问题:（1）由于研究目标、处理方法以及前提条件的不同,水声学和地震海洋学的相关研究结论难以直接应用于勘探地震领域;（2）除常规的反射和透射外,勘探地震问题常常利用多次反射等复杂的波场信息,进而形成了更为复杂的海洋声学环境影响;（3）由于具有较强的时变性与不可预测性,这种误差无法在勘探地震问题中进行经验性消除;且处理过程较为繁琐,往往存在着一定的局限性。解决上述问题的一个基本途径是,从反射地震观测数据形成机制的角度,更加系统地研究海面起伏和深海声道速度分布的影响特征以及相关处理方法。为此,本文通过对不同数值模拟算法的改进与组合,提出了一种灵活有效的多阶次散射分步算法,并在海洋声学环境模型下实现了多次散射的分步数值模拟。针对多阶次散射外推过程中由单程抛物算子导致的角度限制,利用分区多轴抛物近似技术,实现了大方位角处散射场的精确计算,并通过成像Green’s函数的扩展验证其角度适应性。以上述工作为基础,分别定性和定量地研究了海面随机起伏和海水深海声道速度分布的反射地震响应。针对起伏海面的影响特征,借鉴了反褶积技术的整形滤波思想,设计了相应的校正方法和流程;在缺少海面高程与形态信息的前提下,压制了反射地震数据中的海面起伏效应。针对深海声道速度分布的影响,通过常规全波形反演（FWI,Full Waveform Inversion）得到的非均匀水体声速剖面,建立包含深海声道的偏移速度模型（水体）,进而提高深部地质构造的成像精度。通过上述研究得到的主要结论是:（1）分区多轴抛物近似能有效地克服经典抛物近似的角度限制。其不仅可以实现大方位角处散射场（前向和背向）的高精度计算,还可以通过成像Green’s函数的表示,实现水下陡倾角构造的精确成像,具有较好的应用潜力;（2）多阶次散射的分步算法可以灵活有效地实现波场不同物理过程的分步递推,并应用于复杂海洋声学环境中多次散射的分步数值模拟;（3）由海面起伏和海水深海声道速度分布导致的影响在某些条件下不可忽略,其主要通过影响地震波的运动学和动力学特征,影响反射地震数据;（4）利用设计的算法流程,可在缺少海面形态信息的前提下,有效地消除海面起伏对反射地震数据及后续处理流程的影响。（5）在理论层面上,可利用常规FWI方法反演的非均匀水体速度分布,建立更加精确的偏移速度模型,进而提高深部地质构造的成像精度。
王文化[2]（2021）在《高精度有限差分法波动方程正演及逆时偏移研究》文中认为有限差分法广泛应用于各类波动方程的正演模拟,是地震逆时偏移和全波形反演的基础。但是由于网格离散化造成的数值频散是有限差分法不可避免的问题,低阶数、粗网格或者高频时产生的数值频散现象会严重影响波动方程正演模拟的精度。目前已经提出和发展了多种用于压制有限差分数值频散的方法,但是略为遗憾的是它们大多不能同时兼顾计算效率和精度,如何能在不牺牲额外计算效率的同时有效压制有限差分法波动方程正演中的数值频散仍然是需要进一步解决的问题。本文主要围绕有限差分法波动方程正演的模拟精度和计算效率问题展开研究。从时间域有限差分格式的基础理论出发,利用基于Remez算法的常系数优化方法推导具有等波纹特性的空间导数显式、隐式差分系数,引入时间频散变换（TDTs）解决时间频散误差,以声波方程为例实现了相关的叠前逆时偏移成像。论文的主要工作及创新研究内容如下:（1）基于泰勒级数展开方法（TE）分别求解了空间导数的显式差分系数（EFDCs）和隐式差分系数（IFDCs）,并且进行了差分精度对比分析。理论分析表明:在相同阶数时,利用IFDCs近似空间导数的精度明显高于EFDCs;在相近的精度要求下,IFDCs所需的阶数明显小于EFDCs;此外,这两种方法在阶数增加到一定程度时精度的提高会趋向于饱和。（2）分别推导了时域有限差分法声波方程、弹性波方程和双相介质波动方程正演的离散格式,并且分别给出了PML吸收边界条件下的有限差分离散表达式。此外,系统研究分析了传统时域有限差分法声波方程、弹性波方程和双相介质波动方程正演模拟的数值频散问题和稳定性条件。相应的数值算例表明:PML吸收边界条件能很好的解决边界反射问题;相同阶数下基于IFDCs所得波场的的空间频散误差小于EFDCs,但前者的时间频散误差问题会更为严重;IFDCs的稳定性条件限制会比EFDCs更为严格。（3）研究了基于最大范数、二范数和一范数优化有限差分系数的具体过程,并且分别利用模拟退火（SA）、最小二乘（LS）和交替方向乘子法（ADMM）求解利用不同范数建立下空间导数算子的目标函数。本文将Remez算法推广用于求解空间导数的隐式差分系数,数值频散曲线分析表明此算法求解下的空间隐式差分系数能以最小的阶数（2M≤20）获得接近谱精度的波数覆盖范围。此外,结合常系数优化方法和时间频散变换（TDTs）同时解决时间二阶、空间高阶格式下声波方程正演的时间频散和空间频散。数值实验证明:当空间方向存在数值频散误差时,利用TDTs不能完全去除时间数值频散误差,甚至还会加重空间方向的频散误差;空间精度越高,TDTs的时间频散误差去除效果越好;基于Remez优化的隐式有限差分方法（OIFDM）的空间频散误差和频散各向异性程度最小,它结合TDTs后增加的额外空间数值误差也最小。本文还将Remez算法优化得到得隐式差分系数推广用于弹性波方程、双相介质波动方程的正演模拟。（4）研究了逆时偏移成像的基本原理,简要介绍了激发时刻成像条件、上下行波振幅比成像条件和互相关成像条件。深入讨论了逆时偏移低频噪声的产生机制。本文将提出的基于Remez算法优化的隐式有限差分系数用于不同模型的声波方程叠前逆时偏移成像,数值实验表明相比传统显式TE方法,其可以显着提高成像精度和计算效率。本文从地震波场导数的有限差分法数值求解出发,较为系统的研究了时域有限差分法波动方程正演模拟的基础框架和方法理论,并且在此基础上实现了基于高精度有限差分数值模拟的逆时偏移成像。研究算例均表明,这些原创性和推广性的工作显着提高了有限差分法波动方程正演与逆时偏移的精度和效率。
孙铖[3]（2021）在《矩阵对称型波动方程SBP-SAT方法研究》文中指出地震数值模拟在地震学、地震勘探等领域均具有重要的意义。通过数值模拟,可以了解地震波在介质中的传播状态,记录瞬时波场状态。其中,有限差分方法由于具有实现过程简单、计算效率高、适用范围广等优势,成为应用最为广泛的地震动模拟方法之一。但传统有限差分方法,处理具有起伏地表或含裂缝、空腔等构造模型时会受到较多限制,甚至会产生不稳定的模拟结果。为了建立适应起伏地形的节点离散方式,人们提出了曲线网格有限差分方法,该方法可以避免阶梯型网格剖分形式,从而抑制虚假散射波的产生并提高了数值仿真的稳定性。但在曲线网格有限差分方法中,为了实现矩形计算域和曲线型物理域的映射关系,通常需引入雅克比矩阵、链式法则和切法向量等因素。因此会使得弹性波动方程的代数形式愈加复杂,增加了方程推导、程序编译、仿真实现的难度。为了降低曲线域波动方程及其高阶数值方法应用的难度、简化公式推导和程序实现过程,本文将弹性波动方程从传统逐节点运算的方式转换至整体计算域同步离散方式,通过系数矩阵元素确定波动方程类别,将不同模态（SH、P-SV）和不同维度（2D、3D）的波动方程整合至具有普适性的矩阵对称型偏微分方程（Symmetric matrix form,SMF）,使能量法在曲线域中更方便使用。通过具有分部求和（Summation by parts,SBP）性质的差分算子和一致逼近项（Simultaneous approximation terms,SAT）的边界弱施加方式建立的SBP-SAT方法进行波动方程离散,得到可以通过能量法进行稳定性估计的离散框架;利用求解域分割技术,在较小的计算工作量下即可实现含曲线裂纹构造模型或大尺度地震数值模拟。为了进一步增加人工边界位置吸收效果并在各向异性介质与曲线域中保持稳定的数值模拟结果,在矩阵对称型方程中引入了单轴/多轴完全匹配层（Perfectly/Multiaxial-perfectly matched layer,PML/MPML）条带。最后,基于矩阵对称化思路,得到了声波方程SMF格式;利用特征边界条件的代数关系,给出声-弹界面的边界条件,实现了声-弹介质耦合问题的求解。论文内容如下:（1）阐述SBP-SAT方法的实现过程,介绍矩阵型的传统和迎风SBP算子的构造形式与性质。建立可以直接调用的SBP算子通用程序,实现经过简单设定即可建立相应空间离散矩阵算子的流程。结合SAT方法,给出通过能量法进行离散系统的稳定性证明过程。（2）建立矩阵对称型弹性波动方程,将曲线域下的弹性波动方程通过代数运算,转换至系数矩阵为对称矩阵的偏微分方程形式。从而将不同波型（SH、P-SV）、不同维度（2D、3D）的弹性波动方程整合至弹性波动SMF体系中。在此基础上结合SBP-SAT方法,建立起具有普适性的弹性波动SMF离散框架,且该离散框架可以通过能量法进行稳定性分析。利用SAT处理边界的便捷性,实现求解域的分割处理,在离散含曲线型裂纹、空腔等构造和基于实际地形高程模型时,可以极大地拓展模拟区域规模。（3）在弹性波动方程SMF的基础上,引入PML/MPML,并建立该体系的SBP-SAT离散框架,提升波在人工边界位置的吸收效果同时保证模拟的稳定性。将无PML的SBPSAT的能量法从时域转化至频域进行,建立起含MPML/PML的能量法证明思路。通过特征边界代数关系表示的边界条件,可以稳定地与PML/MPML结合,在两者重合部分,无需进行额外的公式引入和替换。基于建立的含PML/MPML的SBP-SAT离散框架,对多种曲线域模型进行数值模拟。（4）将弹性波动SMF延伸至声波方程,基于上述思路实现声波SMF体系的建立,通过已有弹性波动SMF框架进行声波SBP-SAT离散,得到2D和3D的声波SMF离散框架。利用特征边界条件,实现2D情况下的声-弹介质耦合。
刘莺[4]（2020）在《半导体器件问题的高效有限元两层网格算法》文中认为半导体器件可用于半导体芯片,继而广泛应用于信息通讯设备、各类电子产品、新能源产业甚至军事装备等领域,是国民经济发展和国家安全保障的基石.构造既保持半导体数值模拟可靠性和数值解最优精度,又减少计算时间并降低存储要求的算法,成为现代半导体技术研究的巨大挑战.本文研究半导体方程的几类有限元两层网格算法.研究表明该算法应用于求解半导体方程不仅节省计算时间,提高求解效率,而且获得的数值解具有与有限元法求解相同的误差阶.首先研究问题的混合有限元—有限元两层网格算法.考虑到电场强度的重要性,对电子位势方程采用混合有限元法离散,一并解出电场强度,浓度方程用标准有限元法.利用椭圆投影算子和对偶论证思想证明了有限元数值解Lq模误差估计.然后构造基于牛顿迭代的两层网格算法.先在粗网格上求解原始的非线性方程组,随后在细网格上求解线性化的方程组.结果表明只要粗、细网格尺寸满足H=O(h1/2),该方法仍能实现最优逼近.数值实验证明了两网格法的高效性.接着研究问题的混合有限元—特征有限元两层网格算法.实际问题中浓度方程是对流占优的,用标准有限元法离散可能会产生数值弥散或非物理振荡,所以引入特征有限元法离散浓度方程.首先证明了混合有限元—特征有限元数值解Lq模误差估计,然后构造基于牛顿迭代的两层网格算法,并给出该算法数值解的误差估计,最后通过数值算例验证了两网格法的可靠性和有效性.若浓度方程采用混合有限元法离散,不仅同时逼近浓度函数及其通量函数,还可保持单元上的质量守恒,因此进一步研究特征混合有限元法离散浓度方程的情况.给出方程组混合有限元—特征混合有限元全离散格式及有限元解L4模误差估计,针对这种离散格式设计两层网格算法,并获得了两网格解的误差估计.最后研究半导体器件问题的三步两层网格算法.该算法的主要步骤是在前两步计算的基础上,继续在细网格上基于牛顿迭代加以校正计算.给出了三步两层网格法的误差估计,结果表明粗、细网格尺寸满足H=O(h1/4)时,三步两层网格法依然保持有限元法的高精度.数值实验证明了三步两网格法的高效性.
刘阳,李金,胡齐芽,贾祖朋,余德浩[5]（2020）在《边界元方法的一些研究进展》文中研究指明本文旨在综述我们小组近二十年来在边界元方法这一领域的一些研究成果,在简要介绍边界元方法的基本思想后,主要介绍了一类非线性界面问题的有限元-边界元耦合方法、求解电磁散射问题的有限元-边界元耦合方法和超奇异积分的一类计算方法.
秦丹丹[6]（2020）在《求解一类四阶非线性抛物方程的数值解法》文中认为高阶非线性微分方程是一类重要的数学模型,可以刻画很多学科领域中的现象,由于其实用性强,一直备受关注.本文研究了一类具有不同实际背景的四阶非线性抛物方程的数值解法,主要用B样条有限元法对两种四阶项带有变系数的四阶非线性方程进行求解,又分析了其中一种方程的常系数情形的有限体积元法.对前者,四阶项带有变系数的模型的适用性更广,理论分析难度更大.我们对变系数进行一些处理解决所遇到的困难,而这些困难是四阶项系数为常数时所没有的.对后者,充分考虑到有限体积元法的特殊性,构造了相适应的有限体积元格式.首先,本文研究了四阶主项带有变系数的非线性抛物方程的三次B样条有限元法.此前,有研究者分析过该方程的常系数情形的Hermite三次有限元法,我们将四阶项的系数由常数拓展成变系数,使方程的适用范围扩大.三次B样条有限元格式的刚度矩阵的带宽为7,其阶数仅仅是Hermite三次有限元格式的一半.证明半离散解的有界性时,我们采用先积分后放缩的技巧处理四阶主项,解决了难点.借助有界性推导误差估计,L2模的收敛精度是三阶,H2半模达到二阶.关于时间变量的离散,选用了线性化的向后Euler格式,该格式的优点是可以降低非线性项的处理难度并提高数值计算的速度.利用有界性和Sobolev空间嵌入定理等,证明了L2模的收敛阶是O（?t+h3）（?t是时间步长,h是空间步长）,并用数值算例验证了理论结果.其次,我们讨论描述薄膜外延生长的高阶非线性微分方程的三次B样条有限元法.此前,有研究者分析过该模型的基于Hermite三次元的向后Euler格式,但四阶项系数是常数.我们不仅拓宽了模型的使用范围,还得到了更高的收敛精度.为证明半离散问题的解在H2半模下的有界性,我们引入了相适应的能量泛函.能量泛函与常系数情形不同,处理需要技巧.比如,我们分析了能量泛函与所建格式的关系,先对Eh（t）求导,再利用变系数的限制条件进行估计.我们证明了半离散格式的解按L2模是四阶收敛的,按H2半模是二阶收敛的.变系数的存在使格式的构造更加多样,我们选用了Crank-Nicolson格式,用（?）离散非线性项,变系数增加了H2半模有界性证明的难度.在有界性的基础上,推导了L2模和H2半模误差估计,其中H2半模误差分析是此类非线性抛物方程理论分析上的难点.数值实验结果说明格式是有效的.与向后Euler格式相比,基于B样条的Crank-Nicolson格式可以得到较高的时间收敛速度,按L2模达到O（（?t）2）,而且刚度矩阵是规模较小的稀疏矩阵.最后,我们考虑刻画晶体表面生长的非线性抛物方程的Hermite三次有限体积元法.关于该方程的数值方法涉及到差分法和有限元法.由于有限体积元法的特殊性,检验函数是分片线性函数,需要用到广义函数,本文对非线性项没有按照传统的Ritz-Galerkin法那样运用分部积分公式,而是直接进行内积运算.在此基础上,构造了线性化的向后Euler格式.数值算例结果显示,Hermite三次有限体积元格式解的H2半模收敛阶是O（?t+h2）.
谢悦[7]（2020）在《浓度对流扩散方程高精度并行算法及其应用》文中指出在处理突发水污染环境事件中,污染物在河流中的分布情况可以用对流扩散方程来描述。同样很多其他环境相关的问题也都可以转化为对流扩散方程的问题进行分析和解决。因此,对流扩散方程在环境监测以及对污染物的预测和处理领域有着十分重要的意义。但是,很多对流扩散方程问题难以找到解析解,需要对其进行数值求解,而对于突发性水污染事件而言,精确的通过数值计算得到污染物精确扩散位置以及浓度的同时,时效性也是不可或缺的。针对浓度对流扩散方程的数值求解问题,本文主要研究内容如下:文章的第一部分首先针对浓度对流扩散方程进行高精度离散,对内点构造两层八点隐格式,进而,构造与内点格式精度相匹配的边界层差分格式,对浓度对流扩散方程的时间和空间项分别进行相应阶数的泰勒展开,使用待定系数法求出差分格式的差分系数,得到浓度对流扩散方程内点以及边界的时间三阶,空间六阶精度隐式差分格式。进而,对一般情况下的一维高精度差分格式进行Von Neumann稳定性分析,随后对相应算例进行数值验证。最终证明了本文构造的所有格式均满足时间三阶,空间六阶的精度要求,且在一定条件下稳定,稳定性范围宽广,同时一定范围内可以高精度计算对流系数较大的对流占优扩散方程问题。文章的第二部分首先基于第一章构造的高精度差分格式对所得到的三对角方程组提出了一种新的并行计算方法。在p个计算机处理核心分组并行处理的基础上可以并行计算,使得整体并行计算的效率更高,数值算例表明:该并行方法简单易行,解决了隐格式的不易并行计算的问题,并且加速效果随着空间节点总数以及分组数的增加变得更加明显,加速比和方程分块数基本满足线性关系,在保持高精度求解的基础上实现了优良的并行效果。值得注意的是在求解过程中,组与组交叉的未知量可以形成块三对角方程,同样可以使用该方法进行并行计算,可以更大程度上的提高并行求解的效率。因此,本文提出的并行方法适用于二维乃至更高维度的对流扩散方程的并行计算,本文以二维对流扩散方程数值求解为例,给出了本方法和串行方法的计算时间对比分析。加速效果随着空间节点总数以及分组数的增加变得更加明显,且能够很好的保持求解过程的精度需求。文章第三部分对并行计算过程中使用的并行语句进行深入分析,揭示了其循环中的系统周转时间、循环控制和计算规模对于计算效果的影响,通过采用内存映射的方法,高效访问磁盘上由于太大而无法保留在内存中或需要花太长时间而无法加载的大数据集,解决了大型矩阵的数据通讯时间影响整提计算速度的问题。利用MEX混合编译和MATLAB的扩展特性,同时结合C语言进行编码,将计算中的大型循环计算使用C/C++和MATLAB混合编译来完成。高效提升求解大型三对角方程时的并行效果。文章第四部分给出了本文所构造的高精度差分格式在实际环境问题中的应用。分别以上游围油栏作为第一类固定边界,下游收油装置作为第一类移动边界,模拟对河道溢油事故的处理过程。通过采用本文构建的一维浓度对流扩散方程高精度差分格式,数值模拟了溢油发生时,围油栏和收油装置作处理装置时溢油浓度的变化。
谭佳伟[8]（2020）在《二阶椭圆方程有限体积元法若干问题研究》文中研究表明有限体积元法是求解偏微分方程数值解的重要方法,对求解区域进行原始剖分和对偶剖分,并在两种剖分上分别定义试探函数空间和检验函数空间,通过变分方程定义求解格式,具有计算量少,易于处理复杂区域和边界条件,保持局部守恒性等优点,在计算流体、油藏模拟等领域有广泛应用.本文研究如下三个问题:一.以二维对流扩散-对流占优问题为模型,研究了矩形网格上的迎风有限体积元法的稳定性和收敛性.取试探空间为相应于矩形网格上的双线性有限元空间,检验空间为标准的中心对偶剖分上的分片常数函数空间.对流项的处理使用迎风技术,进而定义了迎风有限体积法.首先证明了迎风有限体积元法的稳定性和H1误差估计;然后,在矩形网格长宽比满足一定限制之下,证明了极大值原理并获得最大模误差估计;最后,通过数值实验验证了方法求解对流占优模型的有效性.二.以二维Poisson方程为模型,研究了三角形网格上Hermite型三次元有限体积元法的最佳阶L2误差估计.试探函数空间为三角形网格上Hermite型三次有限元空间,检验函数空间中函数包含两种类型,分别为围绕三角形单元顶点处的对偶单元上的分片线性函数和围绕形心点处对偶单元上的分片常数函数.其L2误差估计的困难在于分片常数检验函数逼近能力弱于分片线性检验函数,这导致很早就被构造的Hermite型三次元有限体积格式的L2误差估计一直没有证明.为此我们构造了一个新的对偶剖分,使得围绕形心点处的对偶单元上满足一个正交条件,借助于这个正交条件完成了最优L2误差估计.三.针对带有反应项的各向异性扩散方程,研究任意四边形和三角形网格上保持离散极值原理的有限体积元格式.借鉴代数流修正技术,有限体积元法的刚度矩阵被分解成扩散与反扩散两部分.通过引入恰当的限制器,保证了反扩散部分不会再产生新的极值,并最终得到一个保持离散极值原理的非线性有限体积元格式.数值例子表明,该格式在扭曲网格上对具有光滑解的各向异性扩散问题能够保持与原来格式相近的精度,同时,该格式在扭曲网格上满足离散极值原理.
赵媛媛[9]（2020）在《求解对流扩散方程的一种边界型方法研究》文中指出对流扩散方程是一类基本的运动方程,方程中包含扩散项及对流项,可用来描述河流污染、大气污染、核污染中污染物质的分布,流体的流动和流体中传热等众多物理现象。但对于这类方程,除了极少数简单情形,大部分问题目前还无法求得精确解,所以利用数值方法进行数值模拟是求解这类问题的主要方法,构造精确、稳定和高效的数值方法成为研究这类问题的重要内容。本文提出了一种边界型方法—半边界法用于数值求解线性及非线性对流扩散方程,并通过与其他数值方法的比较展示了半边界法在求解精度及效率方面的优势。半边界法的主要思想是利用混合变量将微分方程降阶,通过积分运算推导出相邻节点上变量之间的关系,进而推导出求解域内任意节点上变量与一半边界处未知量的关系,利用边界条件解出边界上的未知量后,再利用前述关系式得到任意节点上的全部变量。该方法中未知量只存在于一半的边界条件上,是边界型方法。值得注意的是,半边界法虽然属于边界型方法,但与传统的边界元法完全不同,在建立离散方程时它不需一个基本解,而是直接建立含有混合变量的微分方程。相比于有限体积法,在网格数量相同时半边界法中未知量少,对于一维问题求解过程中涉及到的计算矩阵只有二阶,不必要去求解大型的矩阵方程,减小了计算量并且节省计算所需内存,可以仅求解指定位置节点上的变量值,不需要全部求解。另外,新引入的未知量存在物理意义,使得半边界法可以求得全局解。针对对流扩散方程,对流占优问题一直是值得关注的问题之一。这类问题具有双曲性质,其解函数有大梯度变化的边界层,并且表征对流占优的Peclet数越大,边界层越薄。传统的数值计算方法在求解此类问题时,在边界层区域可能会出现数值振荡,无法得到准确的数值结果。对于对流占优问题,在相同节点数的情况下,利用半边界法求解能够得到较有限体积法更加准确的数值解,另外,通过利用不均匀节点分布减小局部Peclet数,可以在保证计算效率的基础上得到更加准确的数值解。对于对流占优问题,半边界法在计算精度上存在优势。另外,许多研究都是基于常系数模型,这样在求解时非常便利,但在描述许多实际工程问题时,对流扩散方程中的系数往往不是常数,甚至有可能出现间断系数。间断系数是变系数问题的一种特殊情况,由于间断处的不连续,对于很多方法而言在间断处需要设置连续性条件,这就使得其需要求解的方程增多,整体矩阵增大,计算效率下降。但对于半边界法而言,间断处无需特殊设置连续性条件,这对于求解间断模型的问题具有优势。应用于实际问题中的对流扩散方程并非都是线性的,很多方程的系数都与解有一定的关系,因此会出现非线性对流扩散方程的形式。Burgers方程是一类典型的非线性对流扩散方程,具有非线性对流项,可用作不可压Navier-Stokes方程的模型方程。由于非线性方程的复杂性,对流项的非线性往往使得解在某些区域产生剧烈的梯度,求其数值解就更加困难。针对非线性对流扩散问题,半边界法引入迭代算法,将非线性的系数利用迭代值近似,其他的求解分析步骤就与线性方程相同。通过对非线性对流扩散方程的具体问题进行求解,半边界法能够获得准确的收敛解,针对对流占优情况下的非线性对流扩散方程,利用非均匀网格同样可以获得稳定的高精度解。
任恒飞[10]（2020）在《两类非线性动力学方程修正并行FPM算法及模拟研究》文中研究指明作为一类近几年发展起来的数值计算方法,无网格方法数值求解非线性动力学问题一直是计算力学领域的重点研究内容之一。无网格方法主要是通过对局部离散点的近似求解,从而得到全局的近似求解。由于该方法的求解完全不依赖于背景网格,求解高维高阶的非线性动力学问题,如高维高阶抛物型偏微分（描述温度变化的热传导问题）、麦克斯韦方程组（描述电磁相互作用）和非线性薛定谔方程（NLSE）（描述物理学中孤立波现象的量子力学问题）时具有明显的优势。近年来,有限点集法（FPM）作为一种粒子方法已广泛应用于计算物理及相关力学领域。然而,目前还鲜有高维高阶非线性动力学问题的FPM方法数值模拟研究报道,主要原因是已有FPM方法存在稳定性差、精度低和计算效率低等缺点。因此,为了提高FPM求解高维高阶抛物型偏微分方程的数值精度和稳定性,本文首先基于Taylor展开和连续一阶导数的思想,将高阶导数降为一阶导数,建立了可准确施加Neumann边界条件的修正FPM方法。模拟结果表明修正FPM方法能够准确可靠地模拟高阶抛物型偏微分方程。其次,针对传统FPM方法求解三维高阶抛物型偏微分方程的计算效率低问题,结合MPI并行技术,提出了具有更高的数值精度和稳定性的三维修正并行FPM（I-FPM-3D）方法;然后,将上述修正FPM方法推广应用于描述电磁相互作用的麦克斯韦方程组问题的求解,为接下来求解具有二分量的非线性薛定谔方程提供了依据;最后,将I-FPM-3D方法拓展到高阶非线性薛定谔方程,结合高阶分裂格式思想,给出一种能够准确、高效求解高维高阶非线性薛定谔方程的高阶分裂修正并行FPM（HSS-IPFPM）方法。本文的主要工作如下:（1）为了提高传统FPM方法求解高维高阶抛物型偏微分方程的精度,本文基于Taylor展开,将高阶导数进行连续降阶为一阶导数,而每个一阶导数采用修正FPM方法求解,提出了一种修正FPM方法。（2）为了提高高维高阶抛物型方程的计算效率,结合MPI并行计算技术,提出一种三维修正并行FPM（I-FPM-3D）方法。数值模拟不同边界条件下带有解析解的高维高阶抛物型方程,并分析比较不同CPU个数下的计算效率。模拟结果表明,I-FPM-3D方法能够准高效地求解具有Dirichlet和Neumann边界的高维高阶抛物型方程;I-FPM-3D能够稳定地求解高维高阶抛物型偏微分方程,且具有二阶精度和较好的收敛性;I-FPM-3D对混合边界下高维高阶抛物型方程问题的模拟是准确的。（3）运用上述提出的I-FPM-3D方法对二维电场/磁场麦克斯韦方程组进行求解,并将数值结果与有限差分方法作比较。结果表明:给出的I-FPM方法能够准确可靠地求解二维电场/磁场麦克斯韦方程组问题,与网格类方程相比有较好的收敛性,与无网格SPH方法相比具有更好的数值精度和收敛性。（4）由于非线性薛定谔方程存在非线性项和源项,运用修正并行FPM求解复数域内的非线性薛定谔方程时,随着计算时间的延长会出现数值模拟不稳定现象。因此,在上述修正并行FPM方法中引入高阶时间分裂格式,给出了一种基于高阶分裂格式的修正并行FPM（HSS-IPFPM）方法。随后,模拟研究几种不同类型的非线性薛定谔方程,并与其它数值结果进行比较,并考察不同CPU个数下的计算效率。数值结果表明,提出的HSS-IPFPM方法能够高效准确地求解高维非线性薛定谔方程,具有高于二阶精度和较好的稳定性,能够准确地模拟预测非线性孤立波奇异现象和量子化涡旋过程。
二、间断常系数抛物方程组特征修正区域分解有限元法（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、间断常系数抛物方程组特征修正区域分解有限元法（论文提纲范文）
（1）复杂海洋声学环境下的反射地震响应及相关处理方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstracts |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究目的及意义 |
| 1.2 研究现状及趋势 |
| 1.3 主要研究内容 |
| 1.4 主要结构 |
| 1.5 主要创新点 |
| 第2章 基础知识与概念 |
| 2.1 海洋声学环境 |
| 2.1.1 海洋声学环境定义 |
| 2.1.2 起伏海面数学描述 |
| 2.1.3 深海声道数学描述 |
| 2.2 散射波数值模拟方法 |
| 2.2.1 方法概述 |
| 2.2.2 波动方程抛物近似 |
| 2.2.3 薄板近似 |
| 2.3 本章小结 |
| 第3章 大方位角散射计算及应用 |
| 3.1 单程波动方程的分区多轴抛物近似 |
| 3.2 数值实验 |
| 3.2.1 均匀介质 |
| 3.2.2 强横向变速介质 |
| 3.3 基于分区多轴抛物近似的超广角叠前深度偏移 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 球状散射体模型 |
| 3.4.2 崎岖海底模型 |
| 3.4.3 陡倾角盐丘模型 |
| 3.4.4 计算效率对比分析 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 多阶次散射分步计算 |
| 4.1 多阶次散射分步表示 |
| 4.2 时变起伏海面处理 |
| 4.2.1 方法概述 |
| 4.2.2 时变不等距差分格式推导 |
| 4.2.3 海面处理数值算例 |
| 4.2.4 全波场数值算例 |
| 4.3 多阶次散射场分步计算 |
| 4.3.1 不同阶次散射场分类 |
| 4.3.2 直接、间接入射场计算 |
| 4.3.3 入射场数值算例 |
| 4.3.4 空气-海水界面自由边界条件实现 |
| 4.3.5 直接、间接散射场计算 |
| 4.3.6 数值算例 |
| 4.3.7 计算精度对比 |
| 4.3.8 计算效率对比 |
| 4.3.9 计算复杂度对比 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 起伏海面对反射地震数据的影响分析 |
| 5.1 正弦海面模型 |
| 5.2 基于我国海浪谱的随机起伏海面模型 |
| 5.2.1 简单模型定性分析 |
| 5.2.2 复杂模型定量分析 |
| 5.3 拖缆深度影响分析 |
| 5.4 起伏海面散射的波场照明分析 |
| 5.4.1 波场水下照明表示 |
| 5.4.2 波场照明分析 |
| 5.5 本章小结 |
| 第6章 一种消除海面起伏效应的整形反褶积 |
| 6.1 方法概要 |
| 6.2 数值实验 |
| 6.2.1 外观特征对比 |
| 6.2.2 频带特征对比 |
| 6.2.3 运动学、动力学特征对比 |
| 6.3 三维海面数值实验 |
| 6.4 美国东海岸实测数据算例 |
| 6.4.1 测区概况 |
| 6.4.2 数据对比 |
| 6.4.3 成像对比 |
| 6.5 本章小结 |
| 第7章 深海声道对反射地震数据的影响分析 |
| 7.1 深海声道中的地震波 |
| 7.2 不同类型的深海声道模型 |
| 7.2.1 典型深海声道模型 |
| 7.2.2 数值分析 |
| 7.3 不同速度分布的深海声道模型 |
| 7.3.1 不同声轴深度的Munk声道模型 |
| 7.3.2 定性数值分析 |
| 7.3.3 定量数值分析 |
| 7.4 本章小结 |
| 第8章 基于全波形反演的水体速度的建模 |
| 8.1 方法概要 |
| 8.2 数值算例分析 |
| 8.2.1 水体建模 |
| 8.2.2 成像分析 |
| 8.3 本章小结 |
| 第9章 结论与展望 |
| 9.1 结论 |
| 9.2 展望 |
| 参考文献 |
| 附录A 海浪谱 |
| 附录B 海水声速剖面 |
| 附录C 双程波动方程的时间域有限差分(FDTD)解 |
| 附录D 波动方程的抛物近似及傅里叶有限差分(FFD)解 |
| 附录E 全波形反演(FWI)简介 |
| 作者简介及在学期间所取得的科研成果 |
| 致谢 |
（2）高精度有限差分法波动方程正演及逆时偏移研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 选题依据及研究意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 波动方程正演及相关理论 |
| 1.2.2 有限差分数值频散压制方法 |
| 1.2.3 逆时偏移 |
| 1.3 论文研究内容与主要创新点 |
| 第2章 地震波场导数的有限差分法数值求解 |
| 2.1 概述 |
| 2.2 地震波场时间导数的高阶差分近似 |
| 2.3 地震波场空间导数的显式高阶差分近似 |
| 2.3.1 规则网格任意偶数阶精度显式有限差分系数计算 |
| 2.3.2 交错网格任意偶数阶精度显式有限差分系数计算 |
| 2.3.3 差分精度分析 |
| 2.4 地震波场空间导数的隐式高阶差分近似 |
| 2.4.1 规则网格任意偶数阶精度隐式有限差分系数计算 |
| 2.4.2 交错网格任意偶数阶精度隐式有限差分系数计算 |
| 2.4.3 差分精度分析 |
| 2.5 小结 |
| 第3章 时域有限差分法波动方程正演模拟 |
| 3.1 概述 |
| 3.2 声波方程有限差分法 |
| 3.2.1 声波方程及其有限差分格式构建 |
| 3.2.2 数值频散分析 |
| 3.2.3 稳定性讨论 |
| 3.2.4 边界条件 |
| 3.2.5 模型正演测试 |
| 3.3 弹性波方程有限差分法 |
| 3.3.1 弹性波方程及其有限差分格式构建 |
| 3.3.2 震源加载实现 |
| 3.3.3 数值频散和稳定性分析 |
| 3.3.4 模型正演测试 |
| 3.4 双相介质波动方程有限差分法 |
| 3.4.1 双相介质波动方程及其有限差分格式构建 |
| 3.4.2 数值频散和稳定性分析 |
| 3.4.3 模型正演测试 |
| 3.5 小结 |
| 第4章 基于常系数优化法的有限差分波动方程正演模拟 |
| 4.1 概述 |
| 4.2 伪谱法简介 |
| 4.3 时间频散变换 |
| 4.4 基于采样近似方法优化空间导数的有限差分系数 |
| 4.4.1 采样近似法优化差分系数 |
| 4.4.2 结合泰勒展开和采样近似方法优化差分系数 |
| 4.5 基于不同范数求解空间导数的有限差分系数 |
| 4.5.1 基于最大范数求解空间导数的有限差分系数 |
| 4.5.2 基于二范数求解空间导数的有限差分系数 |
| 4.5.3 基于最小范数求解空间导数的有限差分系数 |
| 4.6 基于Remez算法求解空间导数的有限差分系数 |
| 4.6.1 Remez算法优化差分系数简介 |
| 4.6.2 利用相对误差建立目标函数优化差分系数 |
| 4.6.3 与其它优化算法的差分精度对比分析 |
| 4.7 数值频散和稳定性分析 |
| 4.7.1 数值频散对比 |
| 4.7.2 算子长度自适应策略 |
| 4.7.3 稳定性讨论 |
| 4.8 模型正演测试 |
| 4.8.1 声波方程数值模拟实例 |
| 4.8.2 弹性波方程数值模拟实例 |
| 4.8.3 双相介质波动方程数值模拟实例 |
| 4.9 小结 |
| 第5章 基于高精度有限差分数值模拟方案的逆时偏移技术 |
| 5.1 概述 |
| 5.2 逆时偏移基本原理 |
| 5.3 成像条件 |
| 5.3.1 激发时刻成像条件 |
| 5.3.2 上下行波振幅比成像条件 |
| 5.3.3 互相关成像条件 |
| 5.4 逆时偏移噪音压制 |
| 5.4.1 成像噪声的产生机制 |
| 5.4.2 去噪方法 |
| 5.5 声波方程叠前逆时偏移 |
| 5.5.1 水平层状模型逆时偏移成像 |
| 5.5.2 盐丘模型逆时偏移成像 |
| 5.5.3 Marmousi-2模型断层部分逆时偏移成像 |
| 5.6 小结 |
| 结论 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间取得学术成果 |
| 附录 |
| A一阶应力-速度声波方程组的时间高阶差分离散化 |
| B一阶空间导数的隐式交错网格有限差分求解方法 |
| C Biot双相介质一阶速度-应力方程的矩阵表达式 |
（3）矩阵对称型波动方程SBP-SAT方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 缩略词 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题目的及意义 |
| 1.2 弹性波动方程数值模拟国内外研究进展 |
| 1.3 SBP-SAT方法的发展 |
| 1.3.1 SBP算子的发展 |
| 1.3.2 SBP-SAT框架的建立 |
| 1.3.3 SBP-SAT在数值模拟领域中的应用 |
| 1.4 完全匹配层在SBP-SAT框架下的应用 |
| 1.5 弹性波动方程矩阵型对称化 |
| 1.6 本文研究内容 |
| 第2章 SBP算子及SBP-SAT框架的实现 |
| 2.1 能量法和相关标记符号 |
| 2.1.1 能量法 |
| 2.1.2 相关标记符号 |
| 2.2 一阶偏导数SBP算子 |
| 2.2.1 传统SBP算子实现过程 |
| 2.2.2 迎风SBP算子实现过程 |
| 2.3 一阶偏导数SBP-SAT框架的实现过程 |
| 2.3.1 SBP-SAT框架的实现过程 |
| 2.3.2 不同精度、不同类型SBP-SAT框架的误差 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 对称化弹性波动方程的SBP-SAT框架 |
| 3.1 弹性波动方程矩阵型对称化 |
| 3.1.1 SH波动方程矩阵型对称化 |
| 3.1.2 P-SV波动方程矩阵型对称化 |
| 3.1.3 三维弹性波动方程矩阵型对称化 |
| 3.1.4 曲线坐标与坐标变换 |
| 3.2 适定的特征边界条件 |
| 3.3 连续域中的系统能量分析 |
| 3.4 SMF框架的SBP-SAT离散及其能量分析 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.5.1 P-SV方程的多块模拟 |
| 3.5.2 SH波在裂缝模型中的传播 |
| 3.5.3 SH波在曲线裂缝模型中的传播 |
| 3.5.4 Marmousi模型地震动模拟 |
| 3.5.5 含奇异地形地震动模拟 |
| 3.5.6 大尺度复杂地形地震动模拟 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 PML在弹性波动方程SMF框架中的实现 |
| 4.1 连续域SMF框架中的PML实现 |
| 4.2 连续域SMF框架中的PML及稳定性分析 |
| 4.2.1 PML框架本征值分析 |
| 4.2.2 PML框架频域稳定性分析 |
| 4.3 基于SBP-SAT离散的SMF框架中的PML及稳定性分析 |
| 4.3.1 无PML的SMF框架的稳定性分析 |
| 4.3.2 使用MPML进行SMF框架的稳定性分析 |
| 4.4 算例分析 |
| 4.4.1 矩形域中单轴PML的应用 |
| 4.4.2 PML/MPML/Non-PML在曲线域的比较 |
| 4.4.3 自由边界和PML条带重合曲线域 |
| 4.4.4 P-SV型弹性波在曲线域中传播模拟 |
| 4.4.5 P-SV型弹性波在各向异性曲线域中传播模拟 |
| 4.4.6 P-SV波在各向异性圆盘模型中的传播 |
| 4.4.7 三维曲线域中MPML的离散框架 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 声波及弹性波-声波耦合的SBP-SAT模拟 |
| 5.1 声波方程矩阵对称化及其能量估计 |
| 5.1.1 声波SMF框架推导 |
| 5.1.2 声波SMF框架的能量估计 |
| 5.2 声波SMF框架下的PML |
| 5.2.1 声波SMF下的PML实现 |
| 5.2.2 声波介质传播模型 |
| 5.3 声波方程-弹性波动方程SMF框架下的耦合 |
| 5.4 声波-弹性波耦合算例 |
| 5.4.1 矩形域声-弹介质传播模型 |
| 5.4.2 曲线域声波介质传播模型 |
| 5.5 三维声波对称框架 |
| 5.5.1 三维声波SMF推导 |
| 5.5.2 三维声波介质传播模型 |
| 5.6 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 附录 A传统SBP算子构成 |
| 附录 B迎风SBP算子构成 |
| 攻读博士学位期间发表的论文和取得的科研成果 |
| 致谢 |
（4）半导体器件问题的高效有限元两层网格算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 问题的提出和研究意义 |
| 1.2 相关领域的研究背景和研究现状 |
| 1.3 主要研究内容和结构安排 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 Sobolev空间基本概念 |
| 2.2 有限元空间基本概念 |
| 2.3 投影算子及其逼近性质 |
| 2.4 基本不等式及相关定理 |
| 第三章 半导体器件问题混合有限元—有限元两层网格法 |
| 3.1 方程的弱形式和有限元全离散格式 |
| 3.2 混合有限元—有限元法数值解的Lq误差估计 |
| 3.2.1 混合有限元法解的收敛性分析 |
| 3.2.2 标准有限元法解的Lq误差估计 |
| 3.2.3 混合有限元法解的Lq误差估计 |
| 3.3 两层网格算法的构造及误差分析 |
| 3.4 数值实验 |
| 第四章 半导体器件问题混合有限元—特征有限元两层网格法 |
| 4.1 方程的弱形式和有限元全离散格式 |
| 4.1.1 浓度方程特征有限元法 |
| 4.1.2 弱形式和全离散格式 |
| 4.2 混合有限元—特征有限元法数值解的Lq误差估计 |
| 4.2.1 特征有限元法解的Lq误差估计 |
| 4.2.2 混合有限元法解的Lq误差估计 |
| 4.3 两层网格算法的构造及误差分析 |
| 4.4 数值实验 |
| 第五章 半导体器件问题混合有限元—特征混合有限元两层网格法 |
| 5.1 方程的弱形式和有限元全离散格式 |
| 5.2 混合有限元—特征混合有限元法数值解的误差估计 |
| 5.3 两层网格算法的构造及误差分析 |
| 第六章 半导体器件问题三步两层网格法 |
| 6.1 混合有限元—有限元三步两层网格法 |
| 6.2 混合有限元—特征有限元三步两层网格法 |
| 6.3 数值实验 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历、在学期间发表的学术论文及研究成果 |
（6）求解一类四阶非线性抛物方程的数值解法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 高阶非线性抛物方程的背景介绍 |
| 1.1.1 描述晶体表面生长的高阶非线性微分方程 |
| 1.1.2 描述薄膜外延生长的四阶非线性抛物方程 |
| 1.2 B样条函数简介 |
| 1.3 数值方法简介 |
| 1.3.1 有限元方法 |
| 1.3.2 有限体积元法 |
| 1.4 预备知识 |
| 1.5 本文的主要工作 |
| 第二章 描述晶体表面生长模型的B样条有限元法 |
| 2.1 半离散格式 |
| 2.2 全离散格式 |
| 2.3数值实验 |
| 第三章 描述薄膜外延生长模型的B样条有限元法 |
| 3.1 半离散格式 |
| 3.2 全离散格式 |
| 3.3数值实验 |
| 第四章 描述晶体表面生长模型的有限体积元法 |
| 4.1 有限体积元法 |
| 4.2数值实验 |
| 第五章 总结 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的学术论文 |
| 致谢 |
（7）浓度对流扩散方程高精度并行算法及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1. 绪论 |
| 1.1 背景研究 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 数值计算精度的研究进展 |
| 1.2.2 数值算法并行化的研究进展 |
| 1.2.3 三对角矩阵并行化的研究进展 |
| 1.2.4 MATLAB并行求解应用研究进展 |
| 1.3 发展趋势 |
| 1.4 本文的主要研究内容 |
| 2. 一维Dirchlet边界条件下浓度对流扩散方程高精度格式构造 |
| 2.1 一般内点差分格式 |
| 2.1.1 内点格式构造 |
| 2.1.2 内点格式稳定性分析 |
| 2.2 边界差分格式 |
| 2.2.1 始边界格式构造 |
| 2.2.2 始边界格式稳定性分析 |
| 2.2.3 末边界格式构造 |
| 2.2.4 末边界格式稳定性分析 |
| 2.3 数值算例 |
| 2.4 本章小结 |
| 3. 浓度对流扩散方程高精度格式并行计算方法 |
| 3.1 并行计算方法推导 |
| 3.2 数值算例及并行效率分析 |
| 3.2.1 一维浓度对流扩散方程并行效率分析 |
| 3.2.2 二维浓度对流扩散方程并行效率分析 |
| 3.3 本章小结 |
| 4. 基于对流扩散方程并行计算中的MATLAB高效实现方法 |
| 4.1 影响并行计算效率的因素 |
| 4.2 提高并行计算效率的方法 |
| 4.2.1 减少数据通讯时间 |
| 4.2.2 混合编译优化 |
| 4.3 本章小结 |
| 5. 环境中的应用 |
| 5.1 问题描述 |
| 5.2 数值模拟 |
| 6. 结论 |
| 参考文献 |
| 附录A 一维浓度对流扩散方程高精度格式的内点差分系数 |
| 附录B 一维浓度对流扩散方程高精度格式的始边界差分系数 |
| 附录C 一维浓度对流扩散方程高精度格式的末边界差分系数 |
| 附录D 二维浓度对流扩散方程高精度格式的解 |
| 致谢 |
| 作者简历及攻读硕士学位期间的科研成果 |
（8）二阶椭圆方程有限体积元法若干问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 有限体积元法 |
| 1.2 对流扩散方程 |
| 1.3 L~2误差估计 |
| 1.4 极值原理 |
| 1.5 本文主要工作 |
| 第二章 矩形网上迎风有限体积元法 |
| 2.1 迎风有限体积法 |
| 2.1.1 原始剖分与对偶剖分 |
| 2.1.2 试探函数空间和检验函数空间 |
| 2.1.3 迎风有限体积格式 |
| 2.2 迎风格式的稳定性 |
| 2.3 H~1模误差估计 |
| 2.4 极值原理和L~∞-模误差估计 |
| 2.5 数值实验 |
| 第三章 Hermite型三次有限体积元法最优L2误差估计 |
| 3.1 三次Hermite有限体积元法 |
| 3.2 正交性条件 |
| 3.3 强制性和H~1模误差估计 |
| 3.4 L~2 模误差估计 |
| 3.5 数值试验 |
| 第四章 带反应项各向异性扩散方程的受限有限体积元法 |
| 4.1 对称有限体积元法 |
| 4.2 代数流修正格式 |
| 4.3 极值原理和离散极值原理 |
| 4.4 限制因子α_(ij)的定义 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.5.1 光滑系数问题收敛性测试 |
| 4.5.2 系数间断问题收敛性测试 |
| 第五章 结论与后续研究工作 |
| 5.1 结论 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的学术论文 |
| 致谢 |
（9）求解对流扩散方程的一种边界型方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 主要符号对照表 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及研究的目的和意义 |
| 1.2 对流扩散方程的数值方法研究成果及进展 |
| 1.2.1 有限差分法 |
| 1.2.2 有限元法 |
| 1.2.3 有限体积法 |
| 1.2.4 边界元法 |
| 1.2.5 其他数值计算方法 |
| 1.3 非线性对流扩散方程的数值方法部分研究成果及进展 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 第2章 求解稳态对流扩散方程的半边界法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 一维稳态对流扩散方程理论推导 |
| 2.3 二维稳态对流扩散方程理论推导 |
| 2.4 一维稳态对流扩散方程数值实验 |
| 2.5 二维稳态对流扩散方程数值实验 |
| 2.5.1 考虑第一类边界条件的无源二维稳态对流扩散问题 |
| 2.5.2 包含不连续参数的二维稳态对流扩散问题 |
| 2.5.3 含源二维稳态对流扩散问题 |
| 2.5.4 考虑第一类、第二类边界条件的二维稳态对流扩散问题 |
| 2.5.5 考虑第一类、第三类边界条件的二维稳态对流扩散问题 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 求解非稳态对流扩散方程的半边界法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 一维非稳态对流扩散方程理论推导 |
| 3.3 二维非稳态对流扩散方程理论推导 |
| 3.4 一维非稳态对流扩散方程数值实验 |
| 3.4.1 考虑第一类边界条件的一维非稳态对流扩散问题 |
| 3.4.2 考虑第一类、第三类边界条件的一维非稳态对流扩散问题 |
| 3.4.3 包含分段源项及第二类边界条件的一维非稳态对流扩散问题 |
| 3.5 二维非稳态对流扩散方程计算 |
| 3.5.1 考虑第一类边界条件的二维非稳态对流扩散问题 |
| 3.5.2 含源项的二维非稳态对流扩散问题 |
| 3.5.3 含连续变化参数的二维非稳态对流扩散问题 |
| 3.5.4 含间断参数的二维非稳态对流扩散问题 |
| 3.5.5 考虑第一类、第二类边界条件的二维非稳态对流扩散问题 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 求解非线性对流扩散方程的半边界法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 数值方法 |
| 4.2.1 一维稳态非线性对流扩散方程推导 |
| 4.2.2 一维非稳态非线性对流扩散方程推导 |
| 4.3 数值实验及应用 |
| 4.3.1 一维稳态非线性对流扩散方程计算 |
| 4.3.2 一维非稳态非线性对流扩散方程计算 |
| 4.3.3 考虑材料非线性的对流扩散方程计算 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 半边界法在非矩形求解域问题中的应用 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 非矩形求解域的边界条件处理方式 |
| 5.3 三角形平板导热问题 |
| 5.4 扇形平板导热问题 |
| 5.5 本章小结 |
| 第6章 结论与展望 |
| 6.1 结论 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其它成果 |
| 攻读博士学位期间参加的科研工作 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（10）两类非线性动力学方程修正并行FPM算法及模拟研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 无网格有限点集方法的国内外研究现状 |
| 1.2.1 无网格方法及国内外研究现状 |
| 1.2.2 有限点集方法及国内外研究现状 |
| 1.3 非线性动力学数值计算发展状况 |
| 1.3.1 非线性动力学方程以及背景 |
| 1.3.2 非线性动力学方程数值研究 |
| 1.4 本文主要工作及内容安排 |
| 第2章 修正并行FPM方法及数值精度研究 |
| 2.1 FPM方法基本思想 |
| 2.2 三维瞬态热传导问题 |
| 2.3 权函数的基本性质 |
| 2.4 FPM基本方程 |
| 2.5 修正并行的FPM方法 |
| 2.5.1 改进的FPM格式 |
| 2.5.2 改进FPM方法的并行计算 |
| 2.6 四阶抛物型方程 |
| 2.7 三维瞬态热传导问题的数值模拟 |
| 2.7.1 Dirichlet边界条件下的变系数热传导方程并分析计算效率 |
| 2.7.2 常系数Neumann边界条件下热传导方程 |
| 2.7.3 混合边界条件下的常系数热传导方程 |
| 2.8 本章小结 |
| 第3章 基于修正并行FPM方法对麦克斯韦方程组数值模拟研究 |
| 3.1 麦克斯韦方程组 |
| 3.2 改进FPM求解麦克斯韦方程组 |
| 3.3 数值模拟 |
| 3.3.1 二维横向电场麦克斯韦方程组 |
| 3.3.2 二维横向磁场麦克斯韦方程组 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 基于高阶分裂格式的修正并行FPM方法非线性薛定谔问题的数值模拟研究 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 非线性薛定谔和Gross-Pitaevskii方程问题 |
| 4.3 基于四阶时间分裂修正并行有限点集方法(HSS-IPFPM) |
| 4.3.1 四阶时间分裂格式 |
| 4.3.2 I-FPM离散格式 |
| 4.3.3 四阶分裂格式的I-FPM |
| 4.4 NLS/GP方程HSS-IPFPM模拟 |
| 4.4.1 二维Dirichlet边值NLS方程 |
| 4.4.2 具有奇异性周期边值条件的非线性薛定谔方程 |
| 4.4.3 玻色-爱因斯坦凝聚态(BEC)中角动量旋转GP方程 |
| 4.4.4 三维Dirichlet边界非线性薛定谔方程 |
| 4.4.5 带旋转项的三维非线性薛定谔方程 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 结论与展望 |
| 5.1 结论 |
| 5.2 本文创新 |
| 5.3 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的学术论文目录 |
| 致谢 |
四、间断常系数抛物方程组特征修正区域分解有限元法（论文参考文献）
- [1]复杂海洋声学环境下的反射地震响应及相关处理方法研究[D]. 孟祥羽. 吉林大学, 2021(01)
- [2]高精度有限差分法波动方程正演及逆时偏移研究[D]. 王文化. 成都理工大学, 2021
- [3]矩阵对称型波动方程SBP-SAT方法研究[D]. 孙铖. 哈尔滨工程大学, 2021
- [4]半导体器件问题的高效有限元两层网格算法[D]. 刘莺. 湘潭大学, 2020
- [5]边界元方法的一些研究进展[J]. 刘阳,李金,胡齐芽,贾祖朋,余德浩. 计算数学, 2020(03)
- [6]求解一类四阶非线性抛物方程的数值解法[D]. 秦丹丹. 吉林大学, 2020(08)
- [7]浓度对流扩散方程高精度并行算法及其应用[D]. 谢悦. 大连海事大学, 2020(01)
- [8]二阶椭圆方程有限体积元法若干问题研究[D]. 谭佳伟. 吉林大学, 2020(08)
- [9]求解对流扩散方程的一种边界型方法研究[D]. 赵媛媛. 华北电力大学(北京), 2020(06)
- [10]两类非线性动力学方程修正并行FPM算法及模拟研究[D]. 任恒飞. 扬州大学, 2020(04)