一、转移自映射混沌集的Hausdorff维数与测度（论文文献综述）
肖圆芬[1]（2021）在《多重熊混沌集和沿着序列的平均Li-Yorke混沌集的大小》文中进行了进一步梳理本文主要考虑的是有限个符号的全转移,Gauss系统中多重熊混沌集的大小,还有β-变换中两种混沌集（多重熊混沌集和沿着时间序列的平均Li-Yorke混沌集）的大小。我们将会从混沌集的Hausdorff维数以及它的拓扑熵这两个方面来衡量它的大小。设（X,d）是度量空间,f:X→X是连续自映射。包含至少两个点的子集E（?）X被称为是多重熊混沌集,若对任意d ∈N,任意子集A（?）E,和任意d个连续映射gj:A→X,这里j=1,2,…,d,存在递增的正整数序列{qk}k=1∞使得对每个x∈A,有如下式子成立（?）fj·qk（x）=gj（x）,j=1,2,…,d.我们首先在有限个符号的全转移中构造出处处满Hausdorff维数的多重熊混沌集（即这个多重熊混沌集和任意非空开集的交集都是满Hausdorff维数的）,还证明了这样的多重熊混沌集实际上可以存在于每个点的多重proximal核中。然后利用相同的方法在可数个符号的全转移中证得类似的结论。随后应用到Gauss系统中,我们证明得到在Gauss映射的作用下,区间[0,1)上每个无理数的多重proximal核中都存在一个处处满Hausdorff维数的多重熊混沌集。接着本文证明了 β-变换中存在着处处满拓扑熵的多重熊混沌集（即这个多重熊混沌集和任意非空开集的交集都是满拓扑熵的）。为此,本文先在具有spec-ification 性质的正扩张系统中构造出处处满拓扑熵的多重熊混沌集。但是 β-变换不是连续的,同时并不是对所有的β>1,β-变换都满足specification性质。此时需要将问题转化到β-转移中考虑,采取类似在具有specification性质的正扩张系统中构造的方法。接着还是将该多重熊混沌集投到区间[0,1)上的同时保证它的拓扑熵为ln β来完成证明。设{an}n=1∞是非负整数序列。本文考虑的另一种混沌集是沿着时间序列{an}n=1∞的平均Li-Yorke混沌集。称一个不可数子集C（?）X为沿着时间序列{an}n=1∞的平均Li-Yorke混沌集,若对任意两个互异点x,y ∈ C有（?）和（?）成立。最后,对任意的实数β>1,在β-变换中构造出一个沿着多项式（这个多项式的次数大于等于3）时间序列的平均Li-Yorke混沌集,它具有满Hausdorff维数和满拓扑熵。用到的主要方法是在β-转移中构造一个满Hausdorff维数的沿着该多项式序列的平均Li-Yorke混沌集,然后把它投到区间[0,1)上的同时保证Hausdorff维数为1。在β-转移这个系统中混沌集的构造需要多次使用关于这个子转移中允许词的一些非常好的性质。
李楠[2]（2019）在《动力系统混沌性质及敏感性质的研究》文中进行了进一步梳理混沌理论发展了近四十年,广大学者探讨了非线性系统中,各种混沌概念之间以及各种混沌与其相关动力学行为（例如:敏感性、拓扑传递性等）之间的关系,并取得了丰硕成果.本文重点对符号动力系统、g-模糊化系统和非自治离散动力系统的相关混沌性质进行讨论,尤其是敏感性、specification-性质和传递性的一些动力学特征等.主要得到以下三部分结果:一、用符号动力系统构造例子,阐明一类极值映射可以复杂到何种程度.在此思想基础上,考察了衡量系统复杂性的另一个重要概念—-拓扑熵,构造了零拓扑熵与正拓扑熵的例子.另外,证明了存在一个具有零拓扑熵的动力系统,包含一个稠密、不变、极大、传递、由真拟弱几乎周期点构成的不可数分布混沌集.上述结论进一步讨论了周作领和何伟弘于1995年在Science in China Ser A提出的轨道层次结构理论.二、研究了 Zadeh-扩张系统的（几乎）specification-性质和混合性.首先讨论了原系统的敏感性、syndetic-敏感性、传递性、syndetic-传递性和d（或d）-跟踪性与（强）specification-性质之间的关系.其次证明了当原紧致系统具有跟踪性时,该系统是混合的当且仅当它是满的且具有（几乎）specification-性质等价于对任意的λ ∈(0,1],其诱导的Zadeh-扩张系统是混合的等价于对任意的λ ∈(0,1],其诱导的Zadeh-扩张系统是满的且具有（几乎）specification-性质.该结论进一步讨论了 Kupka等人于201 1年在Fuzzy Sets&Systems和Journal of the London Mathematical Society提出的关于原系统与其诱导的模糊化系统的问题.最后我们把g-模糊化的结论推广到乘积系统上,证明了乘积系统是多重敏感的（相应地,多-敏感）当且仅当存在因子系统是多重敏感的（相应地,多-敏感）.三、在一致收敛的非自治离散动力系统中,证明了多重敏感和遍历敏感在任意次迭代运算下保持.而后给出了几类强形式敏感存在的条件.然后讨论了非自治乘积系统的混沌（例如,Martelli混沌、Kato混沌、Ruelle-Takens混沌）与因子系统混沌之间的关系.上述结论是从李健和叶向东于2016年在Acta Mathematica Sinica提出的研究混沌定义的角度出发得到的.类比于自治动力系统,讨论了非自治乘积模糊化系统的多-敏感与多重敏感.进一步证明了多重传递和a-传递在任意次迭代运算下是保持的.最后研究了原非自治系统与非自治模糊化系统上几种传递性的联系.Sanchez于2017年在Chaos Solitons&Fractals中阐明了自治动力系统的一些性质在非自治动力系统中不保持.而我们得到的上述结论说明了存在自治动力系统的一些动力学特性在非自治动力系统中是保持的.
王蕴萍[3]（2018）在《动力系统中的Bowen熵和加权平均维数》文中进行了进一步梳理本文分为三个部分,主要探讨动力系统中的熵与平均维数.第一部分研究了加权拓扑熵和平均维数,把Lindenstrauss和Weiss的结果推广到加权平均维数.第二部分,证明随机动力系统中正熵蕴含平均混沌.第三部分,利用重新参数化球,给出了流的Brin-Katok’s公式,证明了在全空间上流的Bowen熵与经典拓扑熵是相等的.论文的大致框架如下:第一章,我们介绍了动力系统中熵和平均维数的研究背景.第二章,我们定义加权拓扑平均维数、加权度量平均维数,研究了它们的性质,并且证明了加权拓扑平均维数不大于加权度量平均维数.第二章,我们证明随机动力系统中正熵蕴含平均混沌.第三章,我们建立无不动点自由流上的Brin-Katok’s局部熵公式并证明利用重新参数化球定义的拓扑熵和经典拓扑熵的等价性.
张颖[4]（2017）在《Beta-变换动力系统中攀援集和distal集的性质》文中认为本文研究ββ-变换动力系统中的混沌性质及相关集合的Hausdorff维数（β>1）,该系统是Li-York混沌的,即存在攀援集是不可数的.我们证明了对所有β>1,攀援集的Lebesgue测度是零.攀援对是指对中两点的轨道无穷多次地靠近,而又无穷多次地远离.一个给定点xx的distal集是指轨道总是远离x0的轨道的点组成的集合,根据Borel-Cantelli引理和Parry测度的性质,我们得到在[0,1)上任何给定点的distal集都是Lebesgue零测集.进一步,我们研究该集合的Hausdorff维数,给出了一个相关集合的Hausdorff维数的下界.本文的具体内容安排如下:在第一部分序言中,先是回顾了拓扑动力系统和混沌的起源与发展的现状,随后说明了攀援集和distal集合的研究意义和研究现状.在第二章,我们介绍了符号空间、测度、维数的定义及其性质,并给出了一些关于混沌的定义,包括:Li-York混沌,Devaney混沌等,由此引出了攀援集,distal集,为后文研究在ββ-变换下攀援集和distal集的性质做铺垫.在第三章中,先介绍了β-变换的定义和相关性质,然后结合已有的研究成果主要证明了在变换ββ-下攀援集和distal集的测度性质.在第四章,用质量分布原理等证明了在ββ-变换下,轨道与给定点xx0轨道总是远离的点的集合Pβm（x0）的维数性质.
李登辉[5]（2016）在《非光滑映射的混沌动力学研究》文中指出近年来,非光滑动力系统成为了数学和工程领域研究的一个新热点.一方面,来源于很多实际问题的系统是非光滑的,例如碰撞振动系统,带有干摩擦的粘滑振动系统,含有开关的电路系统以及一些控制系统等;另一方面,许多光滑系统的全局Poincare映射是非光滑的.非光滑系统能够发生一些在光滑系统中不会出现的特有的分岔,例如擦边分岔（Grazing bifurcation）,滑移分岔（Sliding bifurcation）.同时这些分岔也导致了通向混沌的新路径.第一章综述近年来非光滑动力学的部分结果,最新进展以及尚存在的一些问题.同时,还介绍了本文的研究内容和主要结果.第二章回顾一些将在下文中用到的动力系统和遍历理论的基本概念和结果,包括Birkhoff遍历定理,测度熵,Lyapunov指数,物理测度,Smale马蹄等.第三章研究了一个描述碰撞振子擦边分岔的区间映射的统计性质.首先证明在适当的参数区域内映射是拓扑混合的.接下来对导数进行变形估计（由于该映射具有无界导数的点）,在此基础上构造原映射的一个诱导马尔可夫（Markov）映射,并且证明诱导映射的回归时间函数的尾是指数衰减的.然后证明映射存在一个绝对连续不变测度,该测度是唯一的并且混合的.最后应用马尔可夫塔方法证明映射对Holder连续观测满足指数相关性衰减和中心极限定理.第四章证明了在一定的参数区域内,Nordmark映射（单自由度碰撞振子擦边分岔的范式映射）存在马蹄型混沌.首先通过对坐标平面做一个合适的分割,证明Nordmark映射的非游荡集包含在一个矩形区域中,然后从此区域出发构造“横条”和“竖条”,最后验证Conley-Moser条件,证明Nordmark映射在其非游荡集上的限制拓扑共轭于双边符号空间上的移位映射.第五章研究了一类Belykh型映射（一类两维不连续分段线性映射）的符号动力学.首先证明当映射满足双曲性条件时,修剪前猜想（Pruning front conjec-ture） 对此映射在一个由正负向轨道都有界的点构成的不变集上成立,给出了判断系统的允许符号序列的解析条件.在此基础上,我们构造映射的一个拓扑模型,虽然此映射是不连续的,但其在上述不变集上的限制拓扑共轭于双边符号空间的一个商空间上的移位映射.这个商空间由映射的修剪前（Pruning front）和基本修剪区域（Primary pruned region）完全确定.最后我们给出映射存在马蹄型混沌的参数区域的精确边界.第六章继续研究第五章中的Belykh型映射.我们计算这类映射的奇怪吸引子的Hausdorff维数.首先我们证明在一定的参数区域内此映射存在一个捕获域,双曲不动点的不稳定流形包含在捕获域中,所以映射存在奇怪吸引子,然后确定映射存在SRB测度的一个参数区域,通过计算吸引子的容度（盒维数）给出其Hausdorff维数的一个上界,最后应用Young关于Hausdorff维数的公式和Pesin熵公式,给出了吸引子的Hausdorff维数的一个下界.由于上下界相等,所以本文得到了吸引子的Hausdorff维数的精确公式.
吴新星[6]（2015）在《关于动力系统混沌性质及跟踪性质的研究》文中进行了进一步梳理本学位论文研究拓扑动力系统的相关混沌性质和平均意义下的跟踪性质.主要完成以下四部分工作：一、研究动力系统在迭代,逆极限,超空间及g-模糊化运算下的一些动力性质,并得到了如下结论：（1）证明一致收敛的非自治系统是p-混沌的当且仅当其任意正整数次迭代系统都是p-混沌的,其中p为如下混沌性质之一Li-Yorke混沌、稠混沌、稠δ-混沌、全局混沌、全局δ-混沌、Li-Yorke敏感、初值敏感依赖、spatiotemporal混沌、DC1-混沌、DC2-混沌.同时证明乘积系统是多重敏感的当且仅当存在因子系统是多重敏感的；该结果肯定地回答了Li和Zhou于2013年在Turkish Journal of Mathematics提出的一个问题.（2）首先得到动力系统是弱混合的（或者,拓扑混合的）当且仅当其超空间系统是拓扑传递的（相应地,拓扑混合的）当且仅当其Zadeh-扩张系统是拓扑传递的（相应地,拓扑混合的）等价于其g-模糊化系统是弱混合的.同时得到一个充分条件,使得定义在空间X上的任意连续自映射的g-模糊化系统都不是拓扑传递的.其次证明若g-模糊化系统是初值敏感依赖的,则超空间系统是初值敏感依赖的；并且举例说明存在初值敏感依赖的动力系统,使得对任意g,其g-模糊化系统都不是初值敏感依赖的.以上结果否定地回答了Kupka于2014年在Information Sciences提出的关于g-模糊化系统弱混合性质和初值敏感依赖性的问题.二、对符号动力系统（∑2,σ）,构造了一个不可数的不变分布ε-混沌集,对任意0<￡<diam∑2同时证明对如下定义的系统f:∑2×S1（?）（x,t）→（σ（x）,Rrx1（t））∈∑2×S1, （?）x=x1x2…∈∑2,（?）t∈S1,其中S1={e2πiθ:0≤θ<1}（?）C;（∑2×S1,f）存在不可数的分布β-混沌集,对任意0<β≤diam∑2×S1=1.本结果肯定地回答了Wang等于2003年在Annales Polonici Mathematici提出的一个问题.三、研究线性系统的混沌性质.首先得到对Banach空间上的有界线性算子,Li-Yorke混沌,序列分布混沌,Li-Yorke敏感和spatiotemporal-混沌等价,并且它们都严格的强于初值敏感依赖性.其次,研究定义在Kithe序列空间λP（A）上权移位算子Bw的各种混沌性质（主要是Li-Yorke混沌,各种分布混沌）,得到Bw为Li-Yorke混沌的一系列等价刻画；并且证明如果存在x,y∈λp（A）及δ>0,使得liminfn→∞（1/n）|{0≤j<n:d（Bwj（x）,Bwj（y））<δ}|<1,则存在￡>0,使得Bw有一个不可数的不变DC2-ε-混沌集和一个不变的DC2-混沌线性流形.同时得到一个充分条件,使得BW含有不变的分布￡-混沌集,对任意0<ε<diamλp（A）.作为推论得到量子谐振子中的湮没算符a=（?）（x+d/dx）的准测度为1.这个结果回答了Oprocha于2006年在Journal of Physics A:Mathematical and General提出的关于a准测度精确值的问题.四、考察动力系统的跟踪性质主要是平均意义下的跟踪性质.首先证明Mα-跟踪性质和Mα-跟踪性质在迭代运算下都是保持的；并且得到如果动力系统在某个包含其测度中心的闭不变子集上具有α-跟踪性质,则该动力系统具有α-跟踪性质.进而证明动力系统具有几乎specification-性质当且仅当其测度中心上的限制系统具有几乎specification-性质.所以几乎specification-性质强于渐近平均跟踪性质.该结果部分地回答了Kulczycki, Kwietniak和Oprocha于2014年在Fundamenta Mathematicae提出的一个开问题.其次,利用以上结果和Mα-跟踪性质得到在毋需‘满射’的假设下,以下关系成立：几乎-specification性质（?）渐近平均跟踪性质（?）弱渐近平均跟踪性质（?）平均跟踪性质等（?）Mα-跟踪性质,Va∈(0,1]（?）d-跟踪性质+d-跟踪性质.该结论改进了Kulczycki, Kwietniak和Oprocha关于各种跟踪性质关系的主要结果.最后,考察跟踪性质与一些传递性质及初值敏感依赖性之间的关系.特别地,我们证明不存在具有d-跟踪性质或者d-跟踪性质的非平凡的等度连续满射系统.
刘龙生[7]（2014）在《广义符号动力系统中的几类混沌集》文中进行了进一步梳理在动力系统中,混沌的研究始于混沌现象的发现,1975年李天岩和Yorkee首次给出了混沌的精确数学定义.根据不同的判定规则,人们给出了不同的混沌概念并进行深入的研究.在动力系统的研究中,符号动力系统成为研究混沌的强有力的工具,人们在符号动力系统中找到了各种类型的混沌集.本文讨论广义符号动力系统（∑（Z+）,σ）的混沌性,在中找到了不可数的分布混沌集、传递不变的Li-Yorke混沌集和不可数的ω-混沌集.本文共分四章,第一章介绍广义符号动力系统的研究进展,给出了一些预备知识,包括几个常用的混沌定义,符号动力系统与广义符号动力系统的一些基本概念与性质.第二章,在广义符号动力系统（∑（Z+）,σ）中构造了一个不可数分布混沌集S,并且S在有限符号空间的并集即第三章,在广义符号动力系统（∑（Z+）,σ）中构造了一个不可数的Li-Yorke混沌集,证明它是传递的混沌集而且具有不变性,并且这个Li-Yorke混沌集第四章,在广义符号动力系统（∑（Z+）,σ）中构造了一个不可数的ω-混沌集,并证明这个ω-混沌集
马东魁,胡超杰[8]（2009）在《迭代函数系统吸引子上的混沌集》文中研究表明设E为满足强分离条件的迭代函数系统的（X,f1,…,fN）吸引子,定义连续映射f:E→E,f（x）=fj-1（x）,xfj（E）,j=1,…,N.设（p1,p2,…,pN）为一个概率向量,μ为对应的不变测度.文中研究了上述映射的复杂动力学行为,得到如下结果:（1）对映射f,存在一个有限混沌集CE,满足μ（C）=μ（E）=1;（2）映射f存在Li-Yorke意义下混沌的极小子系统,该子系统具有零拓扑熵文中还对一些已知的结果进行了推广.
郝树栋[9]（2008）在《分布混沌理论与混沌时间序列预测方法研究》文中研究说明研究符号动力系统的动力学性质是一个非常重要的课题。在符号动力学快速发展的几十年中,众多数学工作者通过不断的努力得出了许多重要的理论和现实成果。为了研究Li-Yorke混沌与分布混沌的内在联系,杜凤芝、王立冬、盖云英提出了按序列分布混沌的概念,并指出区间映射是Li-Yorke混沌当且仅当它是按某序列分布混沌的;廖公夫、范钦杰指出对限制在测度中心上的区间映射来讲,Li-Yorke混沌与分布混沌等价。本文研究了紧致度量空间上SS混沌、按序列分部混沌和{Pi}*—混沌之间的关系并得出一些重要结论。混沌现象是自然界广泛存在的一种不规则运动,是一种由确定的非线性动力系统生成的复杂行为。相空间重构是用动力学方法分析非线性时间序列的基础,而相空间重构的关键是其参数的选取。笔者首先讨论了相空间重构理论及现有的相空间重构方法,然后讨论了延迟时间的选取方法和嵌入维数的选取方法。本文主要研究局域预测法。在广义熵最大化的基础上,我们在相空间中构建一个描述混沌吸引子的广义分布,然后用它来作时间序列预测。本文首先介绍了混沌和符号动力学的基本概念,论证对于限制在测度中心的紧系统而言,{Pi}*—混沌一般地不等价于SS混沌。其次,研究混沌预测的理论,在重构混沌时间序列的基础上,运用分形理论和最大熵原理,推导出一种新的混沌预测方法。最后给出总结和一些有待解决的问题。
吴春兰,谭枫[10]（2007）在《可数符号空间转移自映射混沌集合的Hausdorff维数》文中研究指明讨论了可数符号空间Σ∞上的转移自映射σ,证明了Σ∞中存在一个Hausdorff维数处处为满维数的熊混沌集C,即C与Σ∞的任意非空开集的交集的Hausdorff维数等于开集的维数.
二、转移自映射混沌集的Hausdorff维数与测度（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、转移自映射混沌集的Hausdorff维数与测度（论文提纲范文）
（1）多重熊混沌集和沿着序列的平均Li-Yorke混沌集的大小（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 引言 |
| 1.1 多重熊混沌集的“大小” |
| 1.2 沿着序列的平均Li-Yorke混沌集的“大小” |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 上密度和密度 |
| 2.2 Hausdorff维数 |
| 2.3 沿着序列的平均Li-Yorke混沌集 |
| 2.4 多重熊混沌集 |
| 2.5 遍历理论 |
| 2.6 有限个符号的全转移 |
| 2.7 可数个符号的全转移 |
| 2.8 拓扑熵和Bowen熵 |
| 2.9 正扩张系统 |
| 2.10 Proximal核和多重proximal核 |
| 第3章 有限个符号的全转移中的多重熊混沌集 |
| 3.1 集合C的构造 |
| 3.2 集合C的维数 |
| 3.3 C为多重熊混沌集 |
| 第4章 Gauss系统中的多重熊混沌集 |
| 4.1 Gauss系统中Li-Yorke攀援集的性质 |
| 4.2 可数个符号的全转移中的多重熊混沌集 |
| 4.3 定理1.2的证明 |
| 第5章 具有SPEC性质的正扩张系统中的多重熊混沌集 |
| 第6章 Beta-变换中的多重熊混沌集 |
| 第7章 沿着多项式序列的平均Li-Yorke混沌集 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（2）动力系统混沌性质及敏感性质的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 主要符号表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 本文主要工作 |
| 2 动力系统的基本概念及性质 |
| 2.1 拓扑动力系统 |
| 2.2 几种常见混沌 |
| 2.3 Furstenberg族 |
| 3 符号动力系统与分布混沌 |
| 3.1 问题的提出 |
| 3.2 一类极值映射的拓扑熵与分布混沌 |
| 3.3 真拟弱几乎周期点与分布混沌 |
| 4 模糊化系统的跟踪性与敏感性 |
| 4.1 相关的定义及性质 |
| 4.2 系统(X,f)的跟踪性 |
| 4.3 Zadeh-扩张的specification-性质 |
| 4.4 乘积g-模糊化系统的敏感性 |
| 5 非自治离散动力系统的复杂性 |
| 5.1 相关的定义与性质 |
| 5.2 系统(X,f_(1,∞))的混沌性 |
| 5.3 系统(X,f_(1,∞))的敏感性 |
| 5.3.1 系统(X,f_(1,∞)~([k]))的敏感性 |
| 5.3.2 系统(X,f_(1,∞))的敏感及相关性质 |
| 5.3.3 乘积g-模糊化系统的敏感性 |
| 5.4 g-模糊化系统的传递性 |
| 5.4.1 Zadeh-扩张的传递性 |
| 5.4.2 传递性及其相关性质 |
| 6 总结与展望 |
| 6.1 总结与创新点 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表学术论文情况 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（3）动力系统中的Bowen熵和加权平均维数（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 动力系统的研究背景 |
| 1.2 熵和平均维数 |
| 1.3 动力系统中的正熵和混沌 |
| 1.4 流的Bowen熵 |
| 1.5 本文主要结论 |
| 第2章 加权平均维数 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 加权拓扑熵的等价定义 |
| 2.3 定理1.2的证明 |
| 2.4 定理2.3的证明 |
| 2.5 小边界 |
| 2.6 应用 |
| 第3章 随机动力系统中的平均混沌 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 定理3.1的证明 |
| 第4章 流的Bowen熵 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 流的Brin-Katok公式 |
| 4.3 定理4.1的证明 |
| 4.4 Bowen熵的Billingsley型定理 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（4）Beta-变换动力系统中攀援集和distal集的性质（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究意义 |
| 1.3 本文的主要内容及概要 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 拓扑动力系统 |
| 2.2 混沌的相关定义 |
| 2.3 维数与测度 |
| 2.3.1 勒贝格测度 |
| 2.3.2 Hausdorff测度与维数 |
| 2.4 符号空间 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 攀援集和distal集的测度 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 β-展式及相关性质 |
| 3.3 攀援集的测度 |
| 3.4 构造满维数的攀援集(β∈N) |
| 3.5 distal集合的测度 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 一个相关distal集的维数估计 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 β∈A_0 时的维数下界估计 |
| 4.3 本章小结 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
| 附件 |
（5）非光滑映射的混沌动力学研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非光滑动力系统的分岔和混沌研究现状 |
| 1.2 非光滑动力系统研究中存在的一些问题 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 遍历论中的一些基本定义 |
| 2.2 测度熵 |
| 2.3 Lyapunov指数 |
| 2.4 物理测度 |
| 2.5 Smale马蹄 |
| 2.5.1 符号动力系统 |
| 2.5.2 马蹄模型 |
| 第三章 碰撞振子擦边分岔普适极限映射的统计性质 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 力学模型 |
| 3.3 本章的主要结果 |
| 3.4 扩张性估计 |
| 3.5 导数的变形控制 |
| 3.6 诱导马尔可夫映射 |
| 3.6.1 诱导映射的构造 |
| 3.6.2 逃逸时间 |
| 3.6.3 回归时间的尾估计 |
| 3.6.4 定理3.6.1的证明 |
| 3.7 绝对连续不变测度 |
| 3.8 相关性衰减和中心极限定理 |
| 3.9 本章小结 |
| 第四章 Nordmark映射的Smale马蹄 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 本章的主要结果 |
| 4.3 Nordmark映射的非游荡集 |
| 4.4 Conley-Moser条件 |
| 4.5 定理4.2.1的证明 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 一类Belykh型映射的符号动力学 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 双曲扇形场 |
| 5.3 从符号空间到相空间的一个映射 |
| 5.4 稳定叶和不稳定叶 |
| 5.5 允许符号序列 |
| 5.6 符号平面中的偏序 |
| 5.7 符号动力学模型 |
| 5.8 存在马蹄型混沌的参数区域 |
| 5.9 本章小结 |
| 第六章 一类Belykh型映射的奇怪吸引子的Hausdorff维数 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 捕获域 |
| 6.3 SRB测度 |
| 6.4 奇怪吸引子的Hausdorff维数 |
| 6.5 本章小结 |
| 总结和展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 作者在攻读博士学位期间发表论文和参加科研项目情况 |
（6）关于动力系统混沌性质及跟踪性质的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 主要符号表 |
| 第一章 绪论 |
| 第二章 动力系统基础及混沌 |
| 2.1 拓扑动力系统 |
| 2.2 混沌 |
| 2.3 Furstenberg族 |
| 第三章 迭代系统及逆极限系统的混沌性质 |
| 3.1 混沌的迭代性质 |
| 3.1.1 非自治离散动力系统 |
| 3.1.2 系统(X,f_(1,∞)~([k]))的p-混沌性 |
| 3.1.3 系统(X,f_(1,∞)~([k]))的分布混沌性 |
| 3.1.4 例子 |
| 3.1.5 关于Devaney混沌迭代性质的一个注记 |
| 3.2 逆极限系统的混沌性质 |
| 3.2.1 逆极限系统的F-混合性质 |
| 3.2.2 逆极限系统的(F_1,F_2)-处处混沌 |
| 3.2.3 关于不稳定轨道的注记 |
| 3.2.4 逆极限系统的双Furstenberg族混沌 |
| 3.2.5 乘积系统的双Furstenberg族混沌 |
| 第四章 超空间系统及g-模糊化系统的混沌性 |
| 4.1 超空间系统及其基础知识 |
| 4.2 超空间系统的F-敏感与多重敏感 |
| 4.3 关于多重敏感的一个问题 |
| 4.4 g-模糊化及其基础知识 |
| 4.5 g-模糊系统的动力性质 |
| 4.5.1 g-模糊系统的敏感依赖性 |
| 4.5.2 g-模糊系统的弱混合性质 |
| 4.5.3 g-模糊系统的传递性 |
| 第五章 符号动力系统(∑_2,σ)及其相关系统的分布混沌性 |
| 5.1 (∑_2,σ)的不变分布混沌性 |
| 5.2 主要结果 |
| 5.3 一个特殊的三角映射 |
| 第六章 线性混沌 |
| 6.1 Banach空间上有界线性算子的混沌性 |
| 6.2 Kothe序列空间上权移位算子的混沌性 |
| 6.2.1 Kothe序列空间 |
| 6.2.2 移位算子的Li-Yorke混沌 |
| 6.2.3 移位算子的DC_2-混沌性 |
| 6.2.4 权移位算子中的不变第一类型分布混沌集 |
| 6.3 平移C_0-半群的Li-Yorke混沌 |
| 第七章 动力系统的平均跟踪性质 |
| 7.1 基本定义 |
| 7.2 M~α-跟踪性质和M_α-跟踪性质 |
| 7.3 AASP蕴含ASP |
| 7.4 再论M_α-跟踪性质和ASP |
| 7.5 测度中心动力和跟踪性质 |
| 7.5.1 测度中心的M_α-跟踪性质 |
| 7.5.2 (几乎)specification-性质和测度中心 |
| 7.6 具有d-跟踪性质系统的敏感性 |
| 7.6.1 d-跟踪性质和syndetic-传递性 |
| 7.6.2 d-跟踪性质与等度连续 |
| 7.6.3 d-跟踪性质和等度连续性 |
| 7.7 逆极限系统的遍历伪轨跟踪性质 |
| 7.7.1 逆极限系统(X_∞,f_∞)的遍历伪轨跟踪性 |
| 7.7.2 逆极限系统(X_f,σ_f)的遍历伪轨跟踪性质 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻博期间取得的研究成果 |
（7）广义符号动力系统中的几类混沌集（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 广义符号动力系统的研究进展和预备知识 |
| 1.1 广义符号动力系统的研究进展 |
| 1.2 预备知识 |
| 第二章 广义符号动力系统中的分布混沌集 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 定理及证明 |
| 第三章 广义符号动力系统中的Li-Yorke混沌集 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 定理及证明 |
| 第四章 广义符号动力系统中的ω-混沌集 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 定理及证明 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士期间完成和发表的文章 |
| 致谢 |
（9）分布混沌理论与混沌时间序列预测方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 引言 |
| 1 混沌学发展简介 |
| 2 分布混沌和混沌时间预测的研究现状综述 |
| 3 本论文的主要内容结构及其创新点 |
| 第1章 混沌与动力系统简介 |
| 1.1 混沌的释义 |
| 1.2 混沌与随机 |
| 1.3 混沌与奇异吸引子 |
| 1.4 动力系统基本概念 |
| 第2章 极小子转移的混沌性分析 |
| 2.1 符号空间动力系统 |
| 2.2 混沌的几种数学定义 |
| 2.3 分布混沌与按序列分布混沌 |
| 第3章 混沌时间序列预测简介 |
| 3.1 混沌时间序列预测研究现状 |
| 3.2 全局预测法 |
| 3.3 局域预测法 |
| 3.3.1 加权零阶局域法 |
| 3.3.2 加权一阶局域法 |
| 3.4 神经网络预测方法 |
| 第4章 基于最大熵原理的混沌时间序列预测 |
| 4.1 熵与最大熵原理 |
| 4.1.1 熵的基本含义 |
| 4.1.2 熵概念的泛化 |
| 4.1.3 极大熵原理 |
| 4.2 相空间重构方法 |
| 4.3 延迟时间的选取方法 |
| 4.3.1 自相关法 |
| 4.3.2 复自相关法 |
| 4.3.3 互信息量法 |
| 4.4 嵌入维数的选取方法 |
| 4.4.1 G—P算法 |
| 4.4.2 伪邻近点法 |
| 4.5 基于最大熵原理的混沌时间序列预测法 |
| 4.5.1 建立系统吸引子概率分布函数 |
| 4.5.2 混沌预测算法 |
| 结论 |
| 1 本论文主要研究了混沌系统和混沌预测两方面内容 |
| 2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间公开发表论文 |
| 致谢 |
| 研究生履历 |
（10）可数符号空间转移自映射混沌集合的Hausdorff维数（论文提纲范文）
| 1 定义与主要结论 |
| 2 基本概念与定理证明 |
四、转移自映射混沌集的Hausdorff维数与测度（论文参考文献）
- [1]多重熊混沌集和沿着序列的平均Li-Yorke混沌集的大小[D]. 肖圆芬. 中国科学技术大学, 2021(09)
- [2]动力系统混沌性质及敏感性质的研究[D]. 李楠. 大连理工大学, 2019(01)
- [3]动力系统中的Bowen熵和加权平均维数[D]. 王蕴萍. 南京师范大学, 2018(05)
- [4]Beta-变换动力系统中攀援集和distal集的性质[D]. 张颖. 华南理工大学, 2017(07)
- [5]非光滑映射的混沌动力学研究[D]. 李登辉. 西南交通大学, 2016(02)
- [6]关于动力系统混沌性质及跟踪性质的研究[D]. 吴新星. 电子科技大学, 2015(03)
- [7]广义符号动力系统中的几类混沌集[D]. 刘龙生. 广西师范大学, 2014(10)
- [8]迭代函数系统吸引子上的混沌集[J]. 马东魁,胡超杰. 华南理工大学学报(自然科学版), 2009(07)
- [9]分布混沌理论与混沌时间序列预测方法研究[D]. 郝树栋. 大连海事大学, 2008(06)
- [10]可数符号空间转移自映射混沌集合的Hausdorff维数[J]. 吴春兰,谭枫. 华南师范大学学报(自然科学版), 2007(04)